Proofs from The Book
Pick's Theorem
무엇을 할 것인가?

우리가 다룰 대상은 그 꼭지점이 격자위에 놓여 있는 다각형으로 원과 연결상태가 같은 다각형이다. 다각형이 넓이가 클수록 그 안에 또는 그 변위에 있는 격자점이 많을 것이라는 생각이 드는가? 이 너무나도 자연스럽고 당연한 생각이 우리의 여정의 출발점이다. 왜냐하면 이것은 이미 그들의 관계가 일차식임을 말해주고 있기 때문이다. 우리의 목표는 이 관계를 좀 더 정교하게 알아내는 것이다.

Some Examples

다각형의 내부에 있는 점은 푸른색이고, 경계에 있는 점은 빨간색으로 표시되어 있다.
내부
경계
넓이
6
6
8
내부
경계
넓이
5
10
9
내부
경계
넓이
14
12
19

다각형의 넓이와 점의 개수 사이에서 어떤 관계가 관찰되는가?

내부(I)
경계(B)
넓이(A)
6
6
8
5
10
9
14
12
19

표의 오른쪽에 나와 있는 공식이 바로 우리가 증명해야 할 것이다.

증명의 뼈대를 이해하자.

우리는 곧 V라고 하는 함수를 정의할 것이다. 이 함수가 우리의 증명에 결정적인 역할을 한다. 증명과정은 크게 두 과정으로 나눌 수 있다.
첫째는, V라는 함수의 값이 다각형의 넓이와 같다는 것을 보이는 과정이고,
둘째는, V의 값을 정의대로 계산하는 과정이다.
즉 다각형의 넓이와 V를 계산한 결과를 비교하면 우리는 원하는 것을 손에 넣게 된다.

V를 정의하자

위에서 말한대로 이제는 V를 정의할 차례이다.
V는 다각형 P에 대한 함수라 할 수 있는데, 다각형의 내부에 있는 점에 대해서는 2Pi, 다각형의 꼭지점이 아닌 경계의 점에 대해서는 Pi, 꼭지점에 대해서는 그 내각의 크기 만큼의 값을 주고 모두 더한 뒤에 2Pi로 나눈 값이다.
이해를 돕기 위하여 예를 하나 들어보자.


V를 계산한 과정에 대해서 잘 이해하고, 사다리꼴의 넓이와 방금 구한 값이 9로 일치함을 확인하자.

이제는 본격적인 증명이다.

구체적인 작업에 앞서 이제 논의를 네 단계로 나눈다.
P1 :V(P)는 다각형을 작게 쪼개어 각각 계산한뒤 더해도 된다.
P2 :격자삼각형에 대하여 V(p)=Area(p)이다.
P3 :격자다각형에 대하여 V(p)=Area(p)이다.
P4 : 이다.


P1: V(P)는 다각형을 작게 쪼개어 각각 계산한뒤 더해도 된다.
처음에 들었던 복잡한 도형을 가지고 생각해 보자.

이 다각형에 대하여 V값을 생각해 볼 수 있다.
다음엔 다각형을 그림과 같이 두 개로 나누어 보자.

두 개의 다각형에 대하여 각각의 V값을 구해 보자. 각각 구한 두 개의 V를 더하면 원래 다각형과 같을 것이다. 이유는? 보이는 대로 믿으면 된다. 결과를 요약하자면 다음과 같다.
커다란 다각형의 V값을 구하고 싶다면 작은 다각형들로 쪼개서 따로따로 V값을 구한 뒤에 더하면 된다. 물론 두 개 이상으로 쪼개도 된다.
다소 직관적인 논의였지만, 우리가 끌어낸 사실은 매우 의미심장하다. 그 이유는 앞으로의 논의에서 알게 될 것이다.

P2: 삼각형 P 에 대해서 V(P)=Area(P) 이다.
먼저 아래 그림과 같이 각 변이 x축과 y축에 평행한 직사각형에 대해서 V(R)=Area(R)임을 보이자.

위의 직사각형은 가로가 4, 세로가 3 이므로 넓이는 12이다. 한편, 그 내부의 점은 (4-1)(3-1)개이고, 꼭지점이 아니면서 경계에 있는 점은 2*((4-1)+(3-1))개이므로,
이다.
비슷한 생각으로부터 우리는 형태의 직사각형에 대해서 V(R)=(p-1)(q-1)+(p-1)+(q-1)+1=pq 임을 안다. 즉 V(R)=area(R) 이다. 이 사실로부터 직각삼각형에 대한 결론도 이끌어 낼 수 있다.

두 선분이 x축과 y축에 평행한 직각삼각형 P를 합동인 직각삼각형을 붙여서 직사각형으로 만들 수 있다. 이 직사각형을 R이라 할 때, 이다. 이제 맨 처음에 보인 V의 성질이 등장한다. 두 개의 직각삼각형에 대해서 각각 V를 구하여 더한 값은 V(R)과 같은데,두 직각삼각형의 V값이 같을 것임은 쉽게 알 수 있다. 즉,직각삼각형의 이어야 한다.
V(R)=area(R)에서 V(P)=area(P)가 얻어졌다 !!

임의의 격자삼각형에 대해서 많아야 세 개의 직각삼각형을 덧붙이면, 직사각형을 만들 수 있다. 따라서 비슷한 논의에 의하여 삼각형에 대해서도 식은 성립한다.

P3: 격자다각형에 대하여 V(P)=Area(P)이다.

격자다각형이 다각형의 꼭지점을 꼭지점으로 갖는 삼각형으로 분해되었을 때, 그 분해된 각각의 삼각형에 대해서 V값을 구하여, 모두 더하면 그것은 다각형의 V와 같을 것이고, 각각의 삼각형에 대한 V값은 넓이와 같으므로,그 합은 다각형의 넓이가 될 것이다.
실제로 격자다각형은 격자삼각형으로 분해된다는 사실이 알려져 있다.(증명은 생략하나, 이것은 여기서 굉장히 중요한 정리임.)

잠시 숨을 돌릴겸, 이제까지의 결과를 정리하면, 격자다각형의 V값은 넓이와 같다는 것이다. 이제 원하던 공식을 얻기 직전이다.

P4 : 이다.

주어진 다각형이 n각형이라고 하자. 다각형의 내부에 있는 점은 I개 이고, 경계에 있는 점은 B개 이다. 꼭지점 위에 있지 않는 경계의 점은 B - n 개 가 된다. 한편 각 꼭지점이 V에 공헌하는 것은 다각형의 내각의 크기가 될 것이다. 내각의 합은일 것이다. 이제 V를 정의대로 계산하면,


처음 화면으로