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쾨니히스베르크, 일곱개의 다리

Saturday, September 6th, 2008

폴란드와 리투아니아 사이에 끼어 있는 러시아 본토에서 떨어진 땅, 칼리닌그라드. 쾨니히스베르크, 일곱개의 다리. 중학교 수학에 나오는(나왔던?) 한붓그리기의 기원이 된 역사적인 문제. EBS 지식채널에서 다룬바 있다.

EBS 지식채널 (2008.01.21), 오일러의 왼쪽 눈

이차대전 중 폭격으로 다리가 몇개 부서지고, 보수됐던 사연이 있었던 모양이다. 지금은 일곱개의 다리가 다섯개라고 한다. 구글맵으로 하는 수학의 성지순례.


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리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식

Sunday, April 13th, 2008

글 싣는 순서
리만의 제타함수 (1)
리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가
리만의 제타함수 (4) : 지수법칙
리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장
리만의 제타함수 (6) : 자연상수

지난 글들을 통해, 지수를 실수까지 확장했고, 자연상수 e도 정의할 수 있었다. 이제 지금까지 인내의 대가로, 열매를 딸 수 있는 때가 되었다. 이번 글을 중간 휴식처로 삼은 후, 이 시리즈는 본격적인 리만의 제타함수로 달려간다. 이 시리즈를 얼마나 깊이 또는 얼마나 오래 지속할 지는 오직, 독자의 반응과 나의 변덕에 의존할 뿐이다.

본론에 들어가기 앞서, 오일러라는 수학자의 매력을 느껴 보고 싶은 사람은 얼마 전에 올린 동영상 하나를 참조하기 바란다. 오일러의 왼쪽 눈. 수학적인 면으로나, 인간적인 면으로나, 우리 모두의 스승이 될만한 인물이다. 오일러의 공식이란, 다음 수식을 말한다.

지금까지의 과정을 통하여, 우리는 실수 [math]x[/math]에 대하여, [math]e^x[/math]를 정의할 수 있게 되었다. 이제 우리 앞의 과제는 지수[math]x[/math]를 실수를 넘어 복소수까지 확장하는 것이다.

복소수지수를 정의하기 위해서, 실수범위까지 정의된 지수함수에 대해 복습을 해 보자.

지수함수 f는 다음과 같은 성질들을 만족한다. 이 부분을 눈을 번쩍 뜨고 봐주길 바란다.

1. [math]f(0)=1[/math]
2. [math]f(x+y)=f(x)f(y)[/math]
3. f는 미분가능

두번째 성질을 지수함수의 가장 중요한 성질로 보존하고 싶다면, 지수함수를 복소수까지 확장하는 데는 다음을 만족시킬 필요가 있다.

[math]e^{x+iy}=e^x e^{iy}[/math]

따라서, 실수 x에 대하여, 아래의 수식을 정의하는 것으로 목표를 좁힐 수 있다.

[math]e^{ix}[/math]

위에 언급한 지수함수의 성질이 중요한 이유는, 이 세가지 성질이 역으로 지수함수들을 규정하기 때문이다. 다시 말해, 이 세가지 성질을 만족시킬 수 있는 함수는 오직 지수함수 뿐이다. 이 세가지 성질을 만족시키는 함수를 찾으라고 한다면, 어떤 양수 [math]\alpha[/math]가 있어서,

[math]f(x)={\alpha}^x[/math]

를 만족시키게 된다. 이 경우,

[math]\ln \alpha=c[/math]로 두면, [math]f(x)={\alpha}^x=e^{cx}[/math] 가 만족된다.

그리고, 이 지수함수를 미분하게 되면,

[math]\frac{df}{dx} =ce^{cx}=cf(x)[/math]

가 만족된다.

여기에서 기억해야 할 사실은 단 하나, 모든 지수함수는 [math]e^{cx}[/math]의 형태로 쓸 수 있고, [math]c[/math]는 미분을 할 때, 앞에 상수로 튀어나오는 숫자라는 것이다.

이제 오일러의 공식을 유도하기 위한 모든 준비는 끝났다.

[math]f(x)=\cos x+ i\sin x[/math]

라고 정의된, 실수 x 를 넣으면 복소수 값을 뱉어내는 함수를 생각해 보자. 이 함수는 다음 성질들을 만족한다.

1. [math]f(0)=\cos 0+ i\sin 0=1[/math]
2. [math]f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=cos (x+y)+i sin (x+y)=f(x+y) [/math]
3. [math]\cos x,\sin x [/math]이 미분가능하므로 [math]f [/math] 역시 미분가능

그저 삼각함수와 허수를 결합시켰을 뿐인데, 지수함수만이 만족시킬수 있는 함수가 신비스럽게도(?) 만들어졌다.

이 함수를 미분해보자.

[math]\frac{df}{dx} =-\sin x +i \cos x=i(\cos x+ i\sin x)=if(x)[/math]

지수함수를 복소수 범위까지 확장하는데 있어서, 실수범위까지 정의되었던 지수함수가 만족시키는 성질과 미적분학의 규칙들을 보존하고 싶다면, 이제까지의 논의를 통해 우리에게 주어지는 선택지는 단 하나.

[math]f(x)=\cos x+ i\sin x=e^{ix}[/math]

다시 말해, 실수 [math]x[/math]에 대하여, [math]e^{ix}[/math] 를 정의하고 싶다면, 위에 놓인 선택지가 유일하다는 것이다. 지수함수를 복소수 범위까지 넓히고 싶다면, 이 정의를 따르는 것 말고는 방법이 없다. 그러니 이 정의를 채택하자.

이제 오일러의 공식은 그냥 따라 나오게 된다.

만약, [math]x=\pi[/math] 라면,

[math]f(\pi)=e^{i\pi}=\cos \pi+ i\sin \pi=-1[/math]

따라서,

[math]e^{i\pi}+1=0[/math]

이렇게 하여, 원하던 바 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식이 얻어졌다. 수학에서 가장 중요하게 여겨지는 다섯개의 상수가 결합하여 만들어내는 이 수식은, 수학이라는 학문에 있는 아름다움의 상징으로 흔히 언급된다.

오일러의 왼쪽 눈

Saturday, April 5th, 2008

EBS 지식채널 (2008.01.21), 오일러의 왼쪽 눈

두 눈을 감고 우주를 보았다

멋있지 않아요? *_*

다면체에 대한 데카르트-오일러 정리

Wednesday, January 9th, 2008

예전이나 요즘은 어떠한지 모르겠다만은, 나는 중학교 1학년 때 배웠는데, 정다면체에 대한 오일러의 정리라는 것이 있다. 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 된다는 것이다.

그러나 한 가지 아쉬운 것은 중딩수학에서는 이것과 관련하여 데카르트의 정리라는 것은 언급하지 않는다는 사실이다. 둘이 수학적으로는 동등한 내용이기에 사실 상관없기는 하지만, 데카르트가 엄연히 오일러보다는 짬밥이 높은데다가, 데카르트의 연구가 있었기에 오일러의 성취도 있는 것이므로, 데카르트에게도 어느 정도 크레딧이 돌아가야 한다고 여겨진다. 확인해 본 적은 없지만 프랑스 사람들이라면 데카르트-오일러 정리라고 하지 않을까? 아무튼 오늘은 부족했던 우리 중고딩 수학교육의 구멍을 메꾸려 펜을 들었다.

중학교에서 배우는 (볼록) 다각형에 관한 사실 하나는, 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 [math]2\pi[/math]라는 것이다. 하도 오랜만에 들어보는 사실이라 생소한 사람이 많을테지만,

위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각들이고, 이 크기를 다 합하면 [math]2\pi[/math]가 된다는 것이다. 증명은 중딩 사촌동생이나 혹은 조카에게 물어보도록 하자.

데카르트가 발견한 것은, 이 다각형에 대한 사실을 다면체 버전으로 확장한 것이다. 다면체의 한 점에서 외각이라는 말이 가장 적당한 지는 모르겠지만, 한 점에서의 외각이라는 것은 한 점에 모여있는 다각형들의 모든 각도를 더해서, [math]2\pi[/math]로 뺀 것을 말한다. 아래의 표를 보면 이해할 수 있다.

V E F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
정사면체 Tetrahedron 4 6 4 4-6+4=2 [math]2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi[/math] [math]4\times\pi=4\pi[/math]
정육면체 Hexahedron (cube) 8 12 6 8-12+6=2 [math]2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}[/math] [math]8\times\frac{\pi}{2}=4\pi[/math]
정팔면체 Octahedron 6 12 8 6-12+8=2 [math]2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}[/math] [math]6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi[/math]
정십이면체 Dodecahedron 20 30 12 20-30+12=2 [math]2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}[/math] [math]20\times\frac{\pi}{5}=4\pi[/math]
정이십면체 Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2 [math]2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}[/math] [math]12\times\frac{\pi}{3}=4\pi[/math]

위키에서 표를 따다가 필요한대로 좀 수정해 보았다. V-E+F=2 라는 것이 오일러의 정리이고, 맨 오른쪽에 외각의 합이 언제나 [math]4\pi[/math] 가 된다는 것이 데카르트의 정리이다. 그러면 이게 왜 사실일까? 증명은 오일러 정리를 이용하는 쪽으로 생각을 해 보라. 그러면 오일러 정리는 어떻게 증명했나? 그것은 내가 대학교 2학년때 만든 환상적인 애니메이션을 보고 역시 각자 생각해 보도록 하자.

그러면 혹 누군가 이걸 묻고 싶을지도 모르겠다. 이걸 알아서 어디에 써먹을 수 있겠는가? 사실 살면서 써먹을 일은 거의 없다고 보면 된다. -_- 그래도 굳이 말을 하자면,

가령 정십이면체가 있는데, 갑자기 마음에 충동이 일어 점의 개수를 세고 싶어졌다고 하자.

그러면 점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인하고, 정오각형의 한 점의 내각의 크기가 [math]\frac{3\pi}{5} [/math] 라는 사실을 이용하면, 한 점에서의 외각이 [math]\frac{\pi}{5} [/math] 가 된다는 것을 알수 있다. 그러면 [math]4\pi[/math] 를 이 숫자로 나누면 20을 얻게 된다. 안 세고도 알 수 있다니 얼마나 좋은가?

데카르트의 정리는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립한다.

그러면 축구공에는 점이 몇 개 있는가? 이걸 알고 싶으면, 무식하게 개수를 세다가 헤맬 것이 아니라,
0. 모든 점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인한 후,
1. 한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음,
2. 정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도
3. 따라서 축구공 한 점에서의 외각 크기 = 360도 -108도 -120도 -120도 = 12도
4. 데카르트 정리를 이용하여 [math]4\pi \div 12[/math]도 [math] = 720 \div 12 = 60 [/math]

그러므로 축구공에는 점이 60개 있다!!!! 이것도 배우고 보니 나름 유용한 구석이 있지 않은가?