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리만의 제타함수 (8) : 소수는 무한히 많다(i)

Tuesday, April 22nd, 2008

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리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
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리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장
리만의 제타함수 (6) : 자연상수
리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식

영국 수학자 하디가 쓴 그의 책 '어느 수학자의 변명'에는 다음과 같은 부분이 있다.

I will state and prove two of the famous theorems of Greek mathematics. They are ‘simple’ theorems, simple both in idea and in execution, but there is no doubt at all about their being theorems of the highest class. Each is as fresh and significant as when it has discovered—two thousand years have not written a wrinkle on either of them. Finally, both the statements and the proofs can be mastered in an hour by any intelligent reader, however slender his mathematical equipment.

나는 그리스 수학의 두 가지 유명한 정리를 서술하고 증명할 것이다. 그것들은 아이디어에 있어서나 실제 증명의 수행에 있어서나 모두 '간단한' 정리들이지만, 최상급의 정리들이라는 면에서는 의심의 여지가 없다. 이들은 처음 발견되었을 때만큼이나 신선하고 또 의미심장하다 - 이천년의 세월이 흘렀어도 이들에는 어떤 흠집도 생기지 않았다. 마지막으로 이 두 증명은 지적인 독자들이라면, 수학적 재능이 다소 부족할지라도, 한 시간 이내에 이해할 수 있다.

뭘하는 사람들인지 도무지 이해하기 어려운 수학자들이 추구하는 진짜 수학이라는 것이 무엇인지를 일반인들에게 이해시키기 위해, 일반인들에게 접근이 가능하면서도, 수학적으로 최상급이라 할 수 있는, 하디가 선택한 두가지 수학의 정리는, '소수는 무한히 많다'와 '루트2는 무리수이다' 였다. 자기 자신이 적어도 수학에 대한 교양을 갖추고 있다고 생각한다면, 이 두 가지는 언제라도 그 증명을 복원할 수 있어야 한다고 생각한다. 나는 이 증명을 고등학교1학년 때 처음 알게 됐는데, 감동적인 순간으로 기억을 한다. 기본적인 증명의 기법들을 배우면서, 귀류법을 배울 때였다.

이제 이천년전 유클리드가 남긴 '소수는 무한히 많다'는 증명을 소개한다.

소수의 개수가 유한하다고 하자. 즉 2,3,5, ..., p 가 모든 존재하는 소수라고 가정하자.

[math]N=2\times3\times5\times\cdots\times p +1[/math]

라는 숫자를 생각해 보자.
이 숫자 N은 위에서 언급한 소수의 리스트에 들어있지 않으므로, 소수가 아니다.
그러므로 N을 나누는 어떤 소수가 존재해야 한다. 그런데 N을 2로 나누면 나머지가 1, 3으로 나누어도 나머지가 1, 5로 나누어도 나머지가 1, ...,p로 나누어도 나머지가 1이다. 따라서 어떤 소수도 N을 나누지 않고, 그러므로 N은 소수이다.
모순.

다음 글에서는 드디어 리만의 제타함수가 모습을 드러낼 것이고, '소수는 무한히 많다'는 것을 새롭게 증명할 것이다.

리만의 제타함수 (1)

Saturday, February 2nd, 2008

다음 동영상은 요즘 재밌게 듣고 있는 싸부의 정수론 '영어몰입강의' 의 한 장면이다. 뭘 쓰고 있는 지는 몰라도, 뭔가 웃기는 것은 느낄수 있죠?

칠판에 쓰고 있는 숫자는,
Skewes' number 라 불리는 것으로,[math]\pi(x) > li(x) [/math] 를 처음으로 만족시키는 자연수의 대략적 크기이다.

여기서 [math]\pi(x) [/math] 는 x 이하의 소수의 개수를 나타내는 함수(원주율 [math]\pi[/math] 와는 아무 상관 없음) 이고,

[math] li(x) = \int_0^x \frac{dx}{\ln x} [/math]

로 정의된다.

소수는 2,3,5,7,11,13,17, ... 와 같이 1과 자신만을 약수로 갖는 자연수를 말한다. 이러한 소수는 매우 오래전부터 수학의 중요한 관심사였는데, 19세기말에 소수의 분포와 관련하여, 소수정리(prime number theorem)라는 것이 증명되었다. 소수정리는 x 가 굉장히 클때, x 이하의 소수의 개수는 대략,

[math]\frac{x}{\ln x}[/math]

정도라는 것을 말해준다.

다른 관점으로 말하자면, 이 소수정리는 큰 자연수 N 이 있을때, N 이하의 자연수가 소수일 확률은 대략

[math]\frac{1}{\ln N}[/math]

라는 것을 말하기도 한다. 이렇게 확률적으로 생각을 해 보면,

[math] li(x) = \int_0^x \frac{dx}{\ln x} [/math]

역시 x이하의 소수의 개수 [math]\pi(x) [/math] 에 근접할 것이라고 생각할 수 있다.

수학의 미해결 문제 중에 '리만가설(Riemann hypothesis)'이라는 것이 있다. 풀게 되면, 큰 상금을 타게되며, 역사에 길이길이 이름을 남기게 되는 150년 묵은 악명높은 문제이다. 리만가설은 리만의 제타함수에 대한 추측으로, 제타함수 [math]\zeta(s) [/math]라는 것이 있다. 이 녀석은 [math]s[/math]가 1이 아닌 복소수일 경우, 복소수값을 주는 함수이다. [math]s=-2,-4,-6, \cdots[/math]와 같이 짝수이며 음수인 정수는 제타함수의 해, 즉 리만제타함수의 값을 0으로 만든다. 그러면 다른 해들은 어떤 것들이 있는가 하는 것이 질문인데, 리만가설이란 바로, 이 녀석들의 실수부가 모두 [math]\frac{1}{2}[/math]가 된다는 것으로, 아래 그림에서 점선으로 나타나고 있는 직선위에 놓여있다는 것이다.

그렇다면, 이 리만가설이 왜 중요한가? 하는 것을 물을 수 있는데, 역사적으로 이 리만가설은 위에서 언급한 소수정리와 연관되어 있는데, 리만가설은

[math]\left|\pi(x) - li(x) \right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657. [/math]

와 동치로, 리만 제타함수의 해들이 [math]\left|\pi(x) - li(x) \right|[/math] 의 크기를 통제하고 있다는 것이고, 다시 말하자면, 소수의 분포와 밀접하게 연관되어 있다는 것을 말해준다.

그렇다면 리만의 제타함수란 무엇인가? 지금까지 그 얘기를 안 했다. 바로 이 질문에 대한 답을 앞으로 여러 개로 나누어 쓰도록 하겠다.