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파인만 강의 - 태양 주위의 행성 운동에 관하여

Friday, January 18th, 2008

인류의 지성사에서 가장 큰 발견 몇 가지를 꼽는다면, '지구가 태양의 주위를 타원궤도로 돌고 있다는 사실'을 빼놓을 수가 없을 것이다. 이것으로 인하여 인간의 이성에 대한 무한한 신뢰라는 새로운 시대의 새로운 신화가 탄생했기 때문이다.

파인만 강의 - 태양 주위의 행성 운동에 관하여는 유명한 일반 물리학 교과서인 '파인만의 물리학 강의'에는 담겨지지 못했던 파인만의 행성운동에 대한 강의를 담은 책이다. 뉴턴이 활약한 시대 즈음의 간략한 역사와 더불어 지구가 태양의 주위를 타원궤도로 돌고 있다는 사실에 대한 증명을 담고 있다.

그러나 이 발견이 아무리 세계사를 뒤흔든, 인류지성사의 보석같은 것이라 해도, 이것은 지금에 와서는, 공부를 성실히 한 보통의 이공계의 대학 1학년 정도면 미적분학의 언어를 사용하여 눈깜짝할 사이간에 해치울 수 있는 정도에 불과하다. 그렇지만 지금 내가 소개하는 이 책은 그런 표준적인 증명을 담고 있는 책이 아니다.

수학에서 소위 쓰는 말로 '초보적인 증명(elementary proof)' 이라는 것이 있다. 이 말에는 분명한 정의가 있는 것은 아니지만, 대체로 고등학생 수준의 수학에서 따로이 더 난이도 있는 공부를 하지 않고, 미적분학을 사용하지 않는 정도면, '초보적인 증명'이라고 불러줄 만하다. 그러나 그것이 꼭 쉽다는 것을 말하지는 않는다. 쉬운 언어를 사용하는 대신, 번뜩이는 아이디어들이 요구되는 것이다. 포크레인으로 할 일을, 삽으로 하라고 시키면, 어쨌든 짱구를 좀 굴려야 하지 않겠는가?

이 책은 행성이 타원궤도를 돌고 있다는 사실을 기하학의 언어를 사용하여 '초보적인 방법'으로 증명하고 있다. 그러면 그것이 무슨 의미가 있는가? 책에 수록되어 있는 파인만의 강의록 부분에는, 실제로 타원궤도가 된다는 것을 증명한 후, 파인만의 이런 말이 담겨 있다.

It is not easy to use the geometrical method ro discover things. It is very difficult, but the elegance of the demonstrations after the discoveries are made is really great. The power of the analytic method is that it is much easier to discover things than to prove things. But not in any degree of elegance. It's a lot of dirty paper, with x's and y's and crossed out, cancellations and so on.
기하학적 방법으로는 무언가를 발견하는 것은 쉽지 않다. 그러나 그것이 어렵다 할지라도, 일단 발견한 후에는 그 증명의 우아함의 정도가 매우 크다. 해석적인 방법(즉 미적분학을 사용하는 방법)의 힘은 증명하는 것보다는 발견하기가 훨씬 쉽다는 것이다. 그러나 거기에는 어떠한 우아함도 없다. 그것은 단지 x,y, 줄 그은것, 지운것 등등이 난무하는 지저분한 종이뿐이다.

이렇듯이 '초보적인 증명'의 매력은 바로 우아함과 아름다움에 있는 것이다. 뉴턴 역시 이 증명을 기하학적으로 했는데, 파인만은 뉴턴의 증명을 따라갈 수가 없어서, 스스로 고안했다고 말하고 있다. 책의 저자들이 파인만의 증명을 많은 그림과 함께 친절하게 설명해 놓았다. 고등학교에서 타원을 비롯한 이차곡선을 배웠다면, 차분하게 읽어갈 수 있을 것이라 생각된다.

교양으로서의 수학책을 좀 읽고 싶긴 한데, 시간만 투자하면, 페이지 넘어가는게 보장되는 날로 읽는 책말고, 읽고 난 후 정말 보람이 느껴지는 책에 한번 도전해보고픈 사람에게 추천한다. 나도 타원에 대해 몰랐던 것을 배워가면서 즐겁게 읽었는데, 다만 솔직히 말하자면 증명의 중요한 부분에서, 좀 명확히 이해를 못한 부분이 있다. 더 솔직히 말하자면, 약간 은근슬쩍 날로 먹는 부분이 있는 것 같은데, 이것은 좀더 생각을 해봐야 정확히 판단할 수 있을 것 같다.

소개해 봐야, 실제로 읽을 사람이 별로 없을 거라 확신하지만, 사실 대중을 겨냥한 과학책으로서는 상당히 대담한 것이다. 생각해 보라. 수학이나 과학 대중서라는게 보통, 이런저런 등장인물들 가십이나 섞어서 짜집기하는 그런거 아니겠는가. (나는 이미 이런 책 정도는 트럭으로 쓸수있는 알고리즘을 가지고 있다 하하하) 당당하게 수학적인 '증명'에 책의 대부분을 할애하다니, 이런 용감무쌍한 시도는 한번 음미해 볼만한 사실이다. 대중들이 알아들을 만한 언어로 '증명'을 쉽게 해설한 책을 내놓아서, 과연 출판시장에서 얼마나 경쟁력을 갖출수 있을 것인가?

메르카토르 지도에 얽힌 수학의 역사

Sunday, January 13th, 2008

메르카토르 지도에 대한 공부를 조금 해 보니, 이 지도에 얽힌 수학의 역사 이야기가 너무 재밌어서 사람들에게 한토막 들려주고 싶어졌다. 메르카토르가 1569년에 그의 지도를 만들었을 때, 인류에겐 아직 로그표가 없었고, 미적분학이 없었다. 그 지도에 얽힌 수학을 완벽하게 이해하기 위해, 인류가 들인 시간은 무려 백년!

오늘 오후에 한가하게 책을 보며, 잠깐의 계산을 통해, 메르카토르 투영법의 모든 수학을 이해하고, loxodrome이 지도상에서 실제로 직선이 된다는 결론까지 내린후, 나는 알수 없는 거대한 감동에 휘말렸다. 손 위의 아이폰에는 구글맵이 들어있고, 차에 딸린 내비게이터가 길 안내를 해 주는 세상, 하늘을 돌고 있는 위성들이 안내하는 GPS의 시대. 우리가 사는 오늘은, 수많은 사람들의 오랜 시간의 헌신과 노력이 만들어낸 것이었구나!

고딩 수학에 나오는 부정적분 중에서 최고 난이도를 하나 꼽자면 이 정도가 되지 않을까 싶다.

[math]\int{\sec \theta} d\theta= \ln|\sec \theta + \tan \theta|+C [/math]

이 문제가 17세기 중반의 유명한 미해결 문제였다는 사실을 오늘 알게 됐는데, 이거 풀면, 대학 교수직은 물론이고, 세계에 이름나고, 나라에서는 국가 석학 정도의 대우를 받았을런지. 저를 포함하여 수학을 잘못해서 힘이 든 사람들아, 기운을 냅시다. 아무튼 이 적분 문제가 난데없이 여기에 왜 등장했는가? 이 적분에 메르카토르 투영법이 크게 엮여 있기 때문이다.

그렇다면 이제 메르카토르 지도가 어떻게 만들어지는지 조금 이해를 할 필요가 있다. 지도에서 중요한 정보가 위도와 경도라는 것이다.

위도는 위의 지도에서 왼쪽의 그림, 즉 적도에서부터 얼마나 북쪽 혹은 남쪽에 있는지를 재는 숫자이다. 영어로는 latitude라고 한다. 같은 위도상에 있는 지역들은 구면에서 원위에 놓이게 되는데, 이 원을 위선이라고 한다.

경도는 오른쪽 그림인데, 영국의 그리니치를 0으로 기준삼아, 얼마나 동쪽 혹은 서쪽에 있는지를 재는 숫자이다. 보다시피, 영어로는 longitude라고 한다. 같은 경도 상에 있는 지역들 은 북극과 남극을 지나는 대원에 의해 나타나게 되는데, 이 원을 경선이라고 부른다.

지도에서 위선과 경선이 서로 수직인 직선으로 표현된다는 것을 초등학교에 가면 가르쳐준다. 메르카토르 지도 역시, 위선과 경선을 서로 수직이 되는 직선들로 표현한다.

메르카토르 지도를 그리기 위해 일단, 구면에서 일정한 간격으로 그려진 경선들을, 평면에 똑같이 일정한 간격으로 떨어져있는 y축과 평행한 직선들로 옮겨 그린다. 즉, 경선이 나타내는 경도가 [math]\phi[/math]라고 한다면, 평면지도에서는 [math]x=\phi[/math] 인 직선으로 나타낸다는 것이다. 여기까지는 무척 쉽다.

문제는 위도를 나타내는 위선들을 어떻게 지도에 그릴 것인가가 되겠다. 만약에 위도의 간격만큼 일정한 간격으로 지도에 위선들을 x축과 평행한 직선들로 나타내면, 문제가 발생한다.

이 그림에서 보다시피, 두 경선 사이의 간격은, 위도가 높아질수록 좁아져 극지방으로 가면 0에 가까워 진다. 그런데 이미 우리는 지도에 세로로 그어진 경선들을 그려놨다. 구면에서는 위도가 높아질수록 좁아지는 경선 사이의 간격을, 지도에서는 같게 보이도록 그려놓은 셈이다.

메르카토르 지도에서 원하는 것은 각도를 보존하는 것이다. 각도를 보존하는 것은 국소적인 작업인데, 이 각도를 보존하기 위해서는 국소적인 모양을 보존하도록 하면 된다. 위의 그림에서 나타나듯이, 위로 갈수록 좁은 경선 사이의 거리를 지도에서는 같게 보이도록 만들었다. 국소적인 모양을 보존하기 위해서는, 이렇게 가로의 좁은 거리를 더 길게 늘려준만큼, 세로의 길이도 늘려준 비율만큼 더 길게 해주어야 하는 것이다. 그러면 위도에 따라 이 비율이 어떻게 변하는가?

위의 그림이 말하는 바는, 구면에서 [math]\theta+ d\theta[/math]와 [math]\theta[/math] 를 나타내는 위선들의 간격이

[math]\frac{1}{\cos \theta} d\theta= \sec \theta d\theta[/math]

만큼의 간격을 갖도록 해야 한다는 것이다. 즉 위도가 높아질수록, 위선들의 간격을 [math] \sec \theta [/math] 배만큼 더 넓게 해준다는 것을 뜻한다.

이 식은 극지방으로 갈수록, 그 간격이 무한대에 가까워진다는 것을 설명해준다. 이것이 메르카토르 지도에서 그린랜드가 아프리카와 거의 같은 크기로 나타나는 이유이고(실제로는 훨씬 작다), 극지방을 지도에 표현하지 않는 이유이다. 아무튼 이렇게 해주어야만, 국소적으로 지도의 모양이 보존되게 되고, 따라서 구면상의 각도가 지도에서도 보존되게 된다.

메르카토르는 지도를 만들때 어떻게 했는지 기록으로 남겨놓지 않았는데, 정밀한 미적분학의 툴이 없었으니, 아마도 실험적으로 간격을 어느 정도 넓힐 것인가를 수치적으로 계산해서 만들었다고 추측된다. 위의 그림과 식은, 1599년에 에드워드 라이트라는 사람이 메르카토르의 지도를 수학적으로 설명한 것이다. 그러니까 조선에서는 민족의 성웅 이순신장군이 한산섬 달밝은 밤에 수루에 홀로앉아 긴칼 옆에차고 깊은 시름할 때였고, 임진왜란이 끝나 민생이 도탄에 빠졌던 그런 때였다.

그러나 에드워드 라이트의 때만해도 아직 미적분학이 없어서 적분을 몰랐으니, 에드워드 라이트는 위선들의 지도에서의 y축 좌표를, 말하자면 이런 식으로 표현했다. 만약에 위선들을 1도 간격으로 그리고, 구면에서 1도만큼의 거리를 [math]\Delta[/math]라고 한다면,

위도 메르카토르 지도에서의 y좌표
0도 0
1도 (sec 1도) x [math]\Delta[/math]
2도 (sec 1도+sec 2도) x [math]\Delta[/math]
3도 (sec 1도+sec 2도+sec 3도) x [math]\Delta[/math]
4도 (sec 1도+sec 2도+sec 3도+sec 4도) x [math]\Delta[/math]

이렇게 한다는 것이다. 그때만 해도 적분이 없었기 때문에! 그는 그렇게 이러한 계산이 담긴 표를 출판한 것이다.

우리 고딩들은 이 표가 구분구적법에 의한 정적분문제라는 것을 알텐데- 즉 다음과 같은 표라는 것을!

위도 지도에서 y좌표
[math]\theta[/math] [math]\int_{0}^{\theta} {\sec x} dx [/math]

그러면 그 이후의 역사를 간략하게 살펴보자.

1614년 네이피어가 로그를 발견하고, 로그표를 출판한다. 로그표가 있으면, 곱하기를 더하기로 대신할 수 있고, 나누기를 빼기로 대신할 수 있다. 이 생각은 처음에는 매우 바보같아 보이지만, 컴퓨터가 없던 당시, 천문학의 혁명기에, 큰 숫자를 쉽게 다룰 수 있게 해준 위대한 발명이었던 것이다. 큰 수의 제곱근, 세제곱근도 쉽게 구할 수 있고, 제곱, 세제곱도 쉽게 구 할 수 있게 된다.

1620년에는 에드문트 군터라는 자가 삼각함수의 로그가 담긴 표를 출판한다.

1640년대, 헨리 본드라는 사람이 라이트의 위도 테이블이

[math] \ln \tan (\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}) [/math]

의 값과 일치한다는 사실을 발견한다. 도대체 이 두 값이 왜 일치하는 것일까? 이 문제가 위에서 언급했던 당대의 중요 미해결문제가 된 것이다. 당시는 미적분학의 언어가 한참 개발되던 시기였다. 이제 지금까지 한 것을, 미적분학의 언어로 표현하자면,

[math]\int_{0}^{\theta} {\sec x} dx= \ln (\sec \theta+ \tan \theta) = \ln \tan (\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}) [/math]

지도에서 발생한 문제가 시컨트 함수의 적분 문제를 먼저 추측한 것이니, 참 재밌는 일이 아닌가? 그리하여 이 적분문제가 위의 의미로 증명되고 출판된 것이 1660~70년대였으니, 정확히 메르카토르 지도로부터 백년이 걸린 것이다.

여러분은 여기까지 읽고 이해하는데 몇 분 걸리셨습니까? 다소 어렵더라도 인류가 이해하는데에 백년 걸린 것이니, 느긋하게 하셔도 될 것입니다. GPS의 시대를 살더라도, 이런 사실들을 망각하면 안 될 것입니다. 왜냐하면 이것이 우리의 오늘을 있게 한 뿌리이기 때문입니다.

p.s. 쓰는 중 발견한 (An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant)가 많은 짐을 덜어주었음.