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파인만 강의 - 태양 주위의 행성 운동에 관하여

Friday, January 18th, 2008

인류의 지성사에서 가장 큰 발견 몇 가지를 꼽는다면, '지구가 태양의 주위를 타원궤도로 돌고 있다는 사실'을 빼놓을 수가 없을 것이다. 이것으로 인하여 인간의 이성에 대한 무한한 신뢰라는 새로운 시대의 새로운 신화가 탄생했기 때문이다.

파인만 강의 - 태양 주위의 행성 운동에 관하여는 유명한 일반 물리학 교과서인 '파인만의 물리학 강의'에는 담겨지지 못했던 파인만의 행성운동에 대한 강의를 담은 책이다. 뉴턴이 활약한 시대 즈음의 간략한 역사와 더불어 지구가 태양의 주위를 타원궤도로 돌고 있다는 사실에 대한 증명을 담고 있다.

그러나 이 발견이 아무리 세계사를 뒤흔든, 인류지성사의 보석같은 것이라 해도, 이것은 지금에 와서는, 공부를 성실히 한 보통의 이공계의 대학 1학년 정도면 미적분학의 언어를 사용하여 눈깜짝할 사이간에 해치울 수 있는 정도에 불과하다. 그렇지만 지금 내가 소개하는 이 책은 그런 표준적인 증명을 담고 있는 책이 아니다.

수학에서 소위 쓰는 말로 '초보적인 증명(elementary proof)' 이라는 것이 있다. 이 말에는 분명한 정의가 있는 것은 아니지만, 대체로 고등학생 수준의 수학에서 따로이 더 난이도 있는 공부를 하지 않고, 미적분학을 사용하지 않는 정도면, '초보적인 증명'이라고 불러줄 만하다. 그러나 그것이 꼭 쉽다는 것을 말하지는 않는다. 쉬운 언어를 사용하는 대신, 번뜩이는 아이디어들이 요구되는 것이다. 포크레인으로 할 일을, 삽으로 하라고 시키면, 어쨌든 짱구를 좀 굴려야 하지 않겠는가?

이 책은 행성이 타원궤도를 돌고 있다는 사실을 기하학의 언어를 사용하여 '초보적인 방법'으로 증명하고 있다. 그러면 그것이 무슨 의미가 있는가? 책에 수록되어 있는 파인만의 강의록 부분에는, 실제로 타원궤도가 된다는 것을 증명한 후, 파인만의 이런 말이 담겨 있다.

It is not easy to use the geometrical method ro discover things. It is very difficult, but the elegance of the demonstrations after the discoveries are made is really great. The power of the analytic method is that it is much easier to discover things than to prove things. But not in any degree of elegance. It's a lot of dirty paper, with x's and y's and crossed out, cancellations and so on.
기하학적 방법으로는 무언가를 발견하는 것은 쉽지 않다. 그러나 그것이 어렵다 할지라도, 일단 발견한 후에는 그 증명의 우아함의 정도가 매우 크다. 해석적인 방법(즉 미적분학을 사용하는 방법)의 힘은 증명하는 것보다는 발견하기가 훨씬 쉽다는 것이다. 그러나 거기에는 어떠한 우아함도 없다. 그것은 단지 x,y, 줄 그은것, 지운것 등등이 난무하는 지저분한 종이뿐이다.

이렇듯이 '초보적인 증명'의 매력은 바로 우아함과 아름다움에 있는 것이다. 뉴턴 역시 이 증명을 기하학적으로 했는데, 파인만은 뉴턴의 증명을 따라갈 수가 없어서, 스스로 고안했다고 말하고 있다. 책의 저자들이 파인만의 증명을 많은 그림과 함께 친절하게 설명해 놓았다. 고등학교에서 타원을 비롯한 이차곡선을 배웠다면, 차분하게 읽어갈 수 있을 것이라 생각된다.

교양으로서의 수학책을 좀 읽고 싶긴 한데, 시간만 투자하면, 페이지 넘어가는게 보장되는 날로 읽는 책말고, 읽고 난 후 정말 보람이 느껴지는 책에 한번 도전해보고픈 사람에게 추천한다. 나도 타원에 대해 몰랐던 것을 배워가면서 즐겁게 읽었는데, 다만 솔직히 말하자면 증명의 중요한 부분에서, 좀 명확히 이해를 못한 부분이 있다. 더 솔직히 말하자면, 약간 은근슬쩍 날로 먹는 부분이 있는 것 같은데, 이것은 좀더 생각을 해봐야 정확히 판단할 수 있을 것 같다.

소개해 봐야, 실제로 읽을 사람이 별로 없을 거라 확신하지만, 사실 대중을 겨냥한 과학책으로서는 상당히 대담한 것이다. 생각해 보라. 수학이나 과학 대중서라는게 보통, 이런저런 등장인물들 가십이나 섞어서 짜집기하는 그런거 아니겠는가. (나는 이미 이런 책 정도는 트럭으로 쓸수있는 알고리즘을 가지고 있다 하하하) 당당하게 수학적인 '증명'에 책의 대부분을 할애하다니, 이런 용감무쌍한 시도는 한번 음미해 볼만한 사실이다. 대중들이 알아들을 만한 언어로 '증명'을 쉽게 해설한 책을 내놓아서, 과연 출판시장에서 얼마나 경쟁력을 갖출수 있을 것인가?

수학문명의 시대

Thursday, December 27th, 2007

얼마전 OECD 에서는 각국의 15세 학생들을 대상으로 읽기, 수학, 과학 분야에 대해 실시한 학업성취도 국제학력평가 결과를 발표했다. 성적표를 받아든 각국의 표정이 교차했다.

기사링크


한국의 경우 수학과 읽기 성적은 훌륭했지만, 과학 순위가 전보다 많이 떨어졌다는 우려의 목소리가 높았다. 한국의 교육열과 사교육 비용에 비해 성적이 저렇게 나오지 않는다면 이상한 일이겠다만은, 내가 관심을 가진 것은 결과보다는 바로 이 사실, 즉 15세 아이들의 수학,과학 실력이 어느새 각국의 관심의 초점이 되는 국력의 지표 혹은 국력의 미래지표가 되었다는 것이었다.

지금으로부터 2500여년전 피타고라스는 음악의 비밀이 수학에 있다는 놀라운 사실을 깨달았다. 한옥타브는 2:1, 도와 솔은 2:3 ... 피타고라스와 그의 추종자들은 종교 비슷한 조직을 형성했다. 그들의 믿음은 이것.

"만물은 수다"

이후 그리스문명의 절정기에, 그의 철학을 계승한 플라톤은 그 이후 오늘까지 이어져내려온 2000년 서양문명의 궤도를 제시한다. 그가 세운 학교의 이름은 아카데미아. 그 학교의 팻말에는 이런 말이 써있었다고 전해진다.

"기하학을 모르는 자는 들어오지 말라"

이들을 본류로 하는 그리스의 고전문명이 자양분이 되어 유럽에 르네상스가 일어나고, 마침내 우리가 살고 있는 현대문명의 한 축을 탄생시킨 혁명가 뉴턴이 등장한다. 영국, 프랑스, 미국의 민주주의 혁명이 우리의 시대에 가지고 있는 의미만큼이나, 뉴턴의 혁명은 우리에게 중요하다. 대학에 갓 들어온 모든 이공계 학생은 미적분학을 배운다. 이것은 전세계 대학의 공통 커리큘럼이다. 데모만 하고 수학공부를 안하는 학생의 지성을 나는 믿어주지 못한다. 우리는 학부 꼬맹이들에게 미적분학의 역사적 의미를 제대로 전하고 있는 것일까.

인터넷 회선을 따라 숫자들이 움직이고 있다. 우리가 하는 경제활동의 가장 핵심에는 서로의 계좌에 있는 숫자의 교환이 자리잡고 있다. 피타고라스가 설파한 수의 비밀이 오늘날만큼 세상에 응용된 시대는 일찍이 없었다.

디지털혁명이 일어나기 훨씬 전인 17세기 유럽의 라이프니츠는 그는 그의 논리학 연구에 이진법의 응용가능성을 생각했다. 친구 선교사가 중국에서 가져다 준 주역책의 64괘를 보고 놀라게 된다. 그것은 의심할바 없는 체계적인 이진법의 언어였다.

우리는 지난 20세기 서양의 과학을 배우느라 힘겹게 달려왔지만, 겉에 보이는 것들만 카피했지, 그 밑바닥을 도도하게 흐르고 있는 수학문명의 합리주의 정신까지 가져오진 못했다. 어른들은 학생들의 수학실력만 보고 판단하고 있지만 학생들의 수학실력보다 더 중요한 국력의 지표는 바로 공적영역에서의 합리성이라는 것이다. 거짓이 진실을 이기는 세상에서 공부잘하던 아이들이 어떻게 커갈것인지 나는 그 점을 우려한다.

허나 그래도 국기에다가 디지털 신호를 새겨넣은 세계 유일의 나라이다. 이점에서는 희망이 보인다. 무엇부터 해야 하는 것일까.