결과물만 놓고 보면, 이 글이 쓰여진 과정은 알 수가 없을 것이다. 해당 논문을 뽑아놓고 보니 정말 '하얀 것은 종이고 까만 것은 글씨'인 상태였다. 제목도 뭔 말인지 이해가 안가는 상태였다. 얼마 되지도 않는 주변의 물리를 아는 이들에게 묻는 걸로 시작할 수 밖에 없었다. 물리학에 익숙한 동료를 티타임에 붙잡아 놓고, 두 시간 넘게 괴롭힌게 며칠새 여러번이다. 이메일도 많이 보냈다. 바보같은 질문을 하도 많이 해서 민망했다.

글에서 지적하지는 않았지만, 대학이 검증되지 않은 것들을 보도자료로 내놓는건 일종의 사기행각에 가까운 것이다. 그냥 홍보팀 수준의 오바일 수도 있지만, 그런 차원의 문제가 아니고 이권과 이해관계가 걸린 문제들이 배경에 있을 수도 있는 것이기 때문이다. 이런 일에 언론이 보도자료를 보고 베껴쓰면, 의도를 가진 이들에게 그냥 놀아나는 것일 수도 있다.

대학이 구성원의 업적 홍보에만 치중하다가 검토를 소홀히 하면, 자칫 자기 대학의 석좌교수라는 분을 이번처럼 상당히 위험한 상황에 노출시킬 수도 있다. 학교에서 좀더 신중하게 검토하고 목소리 톤을 낮추는게 좋겠다고만 해주었어도, 본인이 인터뷰까지해서 여러모로 수학 문제에 대한 몰이해를 직접 노출하는 사태를 막아줄 수도 있었을 것이다. 대학 차원의 검토는 구성원의 견제인 동시에 보호인 면도 있음을 생각해야 한다. 학교의 명예를 드높이는 것만 생각했지, 그 반대는 생각도 못하는 것인지.

언론이나 대학이나 본연의 역할을 무난히 수행해 내기 위한 기본적인 프로세스조차 잘 갖추고 있는 것 같지 않다. 이런 기본들이 부실하니, 받을 수 있는 신뢰와 존경을 못받고, 결국엔 아마추어와 사기꾼에게 좋은 세상이 되는 것이 아니겠는지.

밤하늘에 빛나는 별만 좇으며 살아왔는데, 그조차 안개 속에 가려질 때면 마음이 초조해진다. 드넓은 바다에 홀로 둥둥 떠있는 돛단배같다는 생각을 일주일에 열세번은 한다. 도대체 내가 지금 어디쯤 있는지, 육지는 얼마나 먼지 알 수가 없다. 그래도 살아서 땅을 밟기 위해 힘을 내고 있다. 하루하루 절박한 마음으로.

논문은 욕심을 보태 좀 좋은 저널에 제출했다. 20여년의 세월 동안 해결되지 않았던 문제에 균열을 냈고, 결과가 아름답다는 것에서 이미 작지 않은 내면의 만족감을 얻었지만, 떠돌이 생활이 견디기 싫어 승부수라는 생각으로 던져 버렸다.

'11개월의 씨름' (2000년 11월 5일) 에서처럼, 이 문제 역시 오랜 시간의 인내와 끈질긴 도전을 필요로 한 것이었다. 다듬어진 논문에선 찾아볼 수 없겠지만, 결정적인 문제의 열쇠를 발견하게 되는 여러 번의 중요한 순간들이 있었다. 그런 중요한 순간 중에선, 어깨가 아파 제대로 앉아 있을 수가 없어, 누워서 볼 수 있도록 한 모니터를 보며, 내가 짠 코드를 실행하여 누운채로 왼손으로 마우스를 클릭하며 실험을 하고 우연한 발견을 했던 그런 때도 있었다. 남의 인정을 받을 수도 있고, 받지 못할 수도 있다. 그래도 어쨌든 이것은 내가 가진 부족한 재능과 그로인한 모든 결핍까지 끌어모아 만든 내 젊은 시절의 결정이다.

내 궁핍한 날들의 벗들에게 부끄럽지 않은 사람이고 싶다. 살아서 다시 만나자.

A mathematician, then, will be defined in what follows as someone who has published the proof of at least one non-trivial theorem.

가 부담이 되었던 것 같다. 새 논문의 초고가 점차 모습을 드러내면서, 이제야 짓눌린 어깨가 좀 가벼워진다. 세상의 인정과 무관하게, 지금 나는 내가 해낸 것에 만족감을 느낀다.

(악명 높은 E.T. Bell의 글인 만큼 진실인지 의심되지만) 야코비가 했다는 다음과 같은 말도 잘 잊혀지지 않는다.

Young mathematicians ought to be pitched "into the icy water to learn to swim or drown by themselves. Many students put off attempting anything of their own account until they have mastered everything relating to their problem that has been done by others. The result is that but few ever acquire the knack of independent work."
--E.T. Bell, Men of Mathematics (in describing the opinion of Carl Jacobi)

나는 정말로 얼음물에 던져진것 같았고, 수학자가 되기 전에 빠져 죽을 위기의 순간들이 지금까지 계속되었다고 느껴지는데, 그래도 이젠 마침내 수영하는 법을 터득했다는 생각이 든다. 물론 이제부터 시작이지만.

이제는 골방에서 나와 세상 속으로 들어가고 싶다.

사람을 키우고 싶다. 학생들도 가르치고 싶고, 아이도 키우고 싶다.

세상은 나를 사 가시라.

2011년에 다음과 같은 트윗이 트위터 상에서 RT되어 퍼져가던 것을 기억한다

당신이 태어난 해의 끝 두자리에 금년의 당신 나이(만나이)를 더 해보세요. 전 세계 모두가 다 111이란 결과를 얻게 될거예요

뭔가 딱 맞아떨어져 놀랍다는 이러한 계산들이 실은 앞으로 한발, 뒤로 한발 움직이면 제자리라는 것과 본질적으로 다를 게 없다.

마음이 아프다는 핑계로, 몸이 아프다는 핑계로 열심히 살지 못했던 날들이 참 많았다. 내 맘과 싸우느라 얼굴에 생기는 다 사라지고, 그늘만 남은 것 같다. 그러는 사이에 가까웠던 사람들에게 상처도 많이 줬고, 실망도 많이 안겼다. 이룬 것은 보잘 것이 없어, 부끄럽다는 생각이 많이 든다. 이제 그만 내려가고 싶다는 생각이 들었던 날들이 참 많았던 시간이지만, 비틀비틀거리면서 여기까지 왔다.

* 미국을 떠나 독일행 비행기를 타기 전 2주 정도가 남았다. 행선지는 본(Bonn)이다.

* 마음이 몹시 쓸쓸하다. 몇해동안 어렵게 어렵게 가라앉혀, 뱃속 깊이 눌러놓은 우울과 슬픔이 감정의 요동을 타고 다시 목구멍으로 넘어오려 한다. 세상에 내 몸과 마음이 편히 기대어 쉴 수 있는 곳이 있으면 좋겠다.

지난 글
스프링노트 서비스 종료
스프링노트의 ‘정치개혁연구’ 단상

스프링노트의 수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트 는 2008년 10월 13일 '수학과 학부생을 위한 노트' 라는 이름으로 시작되었다. 바로 전인 그 해 9월의 대학교 수학과에서는 무엇을 배우나 에 대한 포스팅이 있었고, 그 질문을 염두에 두고 있던 상태에서 얼마 지나지 않아 스프링노트에 판을 벌리게 되었다.

때마침 스프링노트에서 '도전! 나도 스프링노트의 달인'이라는 이름의 이벤트를 진행하였고, 순위가 오른 김에 등수 안에 드는 것을 목표로 하여 반짝 열을 냈다. 초기의 컨텐츠는 이 덕분에 다소 빠른 속도로 만들어졌다. 결과는 스프링노트 이벤트 – 아이팟 당첨.

수학노트의 탄생과 관련이 있는 나의 생각들은 수학노트가 만들어진 때를 전후로 한 여러 블로그 포스팅 속에 짤막짤막하게 담겨 있다.

• 교육에 대한 몇가지 생각 (2008년 1월)

바른 지식이 삶을 더 풍요롭게 하고, 삶의 질을 증진시킬 수 있다는 것을 믿으며, 나의 지식을 공유하고, 다른 사람의 성장을 돕는다

• 드무아브르의 중심극한정리(iv) : 가우시안의 눈부신 등장 (2008년 7월)

잠시 여담이지만, 이렇게 중고딩 교과서에 ‘~임이 알려져 있다’라고 하는 부분은 사실 교사에게도 학생에게도 크게 중요한 것은 아닐 것이다. 그러나 나의 경험으로 볼 때, 이 순간이야말로 선생님들이 어린 아이들의 가슴 속에 세상에 매우 긍정적인 야망을 심어줄 수 있는 좋은 찬스인 것이다. 바로 이런 곳에 더 높은 수준의 학문을 향한, 학생들이 밟을 수 있는 디딤돌이 놓여져 있는 사회가 건강하고 튼튼한 것이라는 믿음하에 이 글은 작성되고 있다.

• 청소년을 위한 모노드로미 (2008년 8월)

두 책이 각각 고등학생과 대학1학년을 대상으로 행해진 강의록이라고 하니, 그야말로 ㅎㄷㄷ이라 할 수밖에. 둘다 모두 굉장히 격조가 있고 품격이 높은 수학이라고 할 수 있고, 결코 만만한 내용이 아니다. 수학과의 학부에서 배우는 개별과목들의 중요 개념들이 한 자리에서 만날 수 있는, 19세기 수학의 높은 성취물들이기 때문에, 수학과의 학부 4학년들에게 가르치는 일도 그리 쉬울 것 같지는 않다.하지만 다소 어려움이 있을지라도 바로 이런 수학들을 학부생들에게 가르치는 노력을 해야 한다고 본다. 이런 맛을 봐야 수학이 멋있는 것을 안다.

• 싸부와 위키피디아 (2008년 9월)

오늘 싸부와 잠시 대화를 나누었는데, 이런 저런 페이퍼의 존재를 알려주는데, 지은이만 알고 제목을 모르겠다더니, 알려준다고 검색에 들어간다. 그러면서 뚝딱뚝딱 하더니, 위키피디아의 한 엔트리의 편집 모드로 들어가더니 아래에 있는 참고문헌 부분에다가 무언가를 적는 것이 아닌가! 그리고는 위키에 올렸으니 가서 찾아보면 된다고 한다.  (...)이 사람은 위키피디아를 자기 개인용 노트로 활용하고 있는 것이 아닌가!! 이렇게 참고문헌을 적어놓으면, 유용하다나 –;;;

• 수학노트와 지역불균형 (2009년 11월)

지방의 고등학생이었던 나는 그 시절에 이런저런 경험들을 통해 이미 나의 수학 실력과 서울에 있는 많은 아이들의 수학 실력에 차이가 많다는 사실을 잘 알고 있었다. (...) 나는 내가 느낀 결핍의 문제들은 해결을 해봤으면 하는 마음이다. 어떤 의미로는 수학노트는 변방의 마음에서 태동한 것임을 나는 말해두고 싶다.

이러한 생각들이 나의 머리에서 곧 흐릿해진 이후에도 수학노트가 (정치개혁연구와 마찬가지로 사실상 1인 프로젝트였음에도 불구하고) 계속 굴러갈 수 있었던 데는

• 노트를 만드는 것이 나 자신의 공부에 유용한 측면들이 있었다는 점
• 나름 전문성을 가진 분야에서 잉여력을 발휘하기는 크게 어렵지 않다는 점

과 같은 요인들이 있다고 생각한다.

지금은 비록 시민민주주의를 위한 정치개혁 연구 라는 이름을 붙여놓고 있지만 스프링노트 의 이 곳은 2008년 10월 19 일 '수학도의 정치개혁 연구' 라는 페이지 이름으로 내가 예전부터 이곳에 블로깅한 소재들을 씨앗으로 하여 시작되었다. http://pythagoras2.springnote.com 라는 어찌 보면 사적인 주소가 붙은 것도 애초에 이곳이 나의 작은 실험장으로 시작되었기 때문일 것이다.

2008년 초에 나는 퇴임하는 노무현 대통령님께에서 뭔가 그와 함께 하고 싶다는 생각들을 했는데, 전직 대통령과 함께 공부하며 진화하는 지식공동체를 건설하는 일은 즐거운 일이 될 수 있을 것 같았다. '청와대에 공부하라고 들여보냈던' 대통령과 함께라면 성과도 있을 것 같았다. 그가 생각했던 민주주의 2.0 프로젝트에 대해 나는 책문 : 웹2.0을 어떻게 시민주권운동에 활용할 수 있는가 에 이런저런 생각들을 담아 보았다.

2008년 후반기엔 민주주의2.0 베타가 일단의 모습들 드러냈고, 누가봐도 썩 만족스럽게 느끼기는 어려운 모습으로 시작되었다. 이것은 시행착오와 시간들이 더 필요한 장기 프로젝트였다. 내가 스프링노트에 '정치개혁연구' 노트를 개설한 데는 나 자신이 여기에 투입하기 위한 경험과 노하우들이 더 필요하다 여겼기 때문인데, 스프링노트가 마침 협업이 가능한 공간으로 새롭게 열렸기 때문에 배울 점들이 많이 있을 것 같아 그곳에 둥지를 틀게 되었다.

민주주의2.0 프로젝트는 노무현 대통령에 대한 정치적 탄압과 함께 좌초되었고, 지금은 '한국미래발전연구원'의 홈페이지 한 귀퉁이 아무도 찾아볼 것 같지 않은 곳에 모셔져 있다.

그와는 별개로 나는 계속 나만의 실험을 스프링노트에서 진행하였고 정당과 지식관리시스템(4) 에 그간의 실험에서 얻어진 생각들을 어느 정도 취합하였다.

그러니까 애초에 나는 정치적 영향력을 행사할 수 있는 '지식공동체' 를 만드는 것에 관심이 있었고, 전직 대통령이라는 구심점이 사라지며 유야무야 되어버린 민주주의2.0프로젝트 대신 정당개혁운동 속에서 '정당의 지식관리시스템' 을 구축하는 형태로 이 실험의 열매가 열렸으면 좋겠다는 생각을 하고 있었다.

'지식공동체'를 만들고 싶었던 나의 바램과는 무관하게, 스프링노트에서의 작업들이 거의 1인 프로젝트로 진행되었다는 점에서 이 실험이 나 이외의 사람들에게도 어떠한 소중한 경험을 쌓고 아이디어들을 만들 수 있는 곳이 되지는 못한 것 같다.

지금에 와서는 '정당개혁'이라는 것에 기대도 열정도 거의 사라져 버렸기 때문에, '정치개혁연구' 에서의 실험을 계속 진행하고 끌고갈 나의 에너지는 거의 고갈된 형편이다.

하지만 '정치개혁연구' 에 쌓인 여러 자료와 곳곳에 남아있는 아직은 펼치지 못한 아이디어들은 그냥 버리기엔 아깝다는 생각을 한다. 이들을 장차 어찌할 것인가?

'민주주의2.0을 다시 만들자' 하는 말도 언젠가는 꺼내 보고 싶지만, 이걸 누가 총대를 메고 나설 것이며 어떤 사람들이 코어가 되어 진행할 것인지 다 모호한 상황이다.

• 비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈
• 비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간
• 비유클리드 기하학 입문(3) : 콕세터가 들려주는 에셔
• 비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion)
• 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번…
• 비유클리드 기하학 입문(6) : 세가지의 2차원 기하학

오늘은 매스매티카로 푸앵카레 상반평면 모델과 푸앵카레 unit disk 모델 에서의 측지선을 그리는 법을 소개할 것이다.

상반평면은 복소평면 상에서 $\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}$ 로 정의되는데, 이 곳에서 측지선은 y 축에 평행한 직선 또는 중심이 실수축에 놓여 있으며, 실수축과 수직으로 만나는 원들이다.

원으로 주어지는 측지선을 다루는 좋은 방법은 이 원이 실수축과 만나는 두 점을 생각하는 것이다. 실수축위에 놓인 점이므로, 두 점의 x-좌표를 가지고 이들을 기술할 수 있다. 두 점의 x-좌표가 각각 i와 j라면, 다음과 같은 식을 통하여 측지선을 매개화할 수 있다.

x[i_, j_][t_] := ((i + j)/2 + Abs[i - j]/2 Cos[t]);
y[i_, j_][t_] := Abs[i - j]/2 Sin[t];
geoH[i_, j_] :=
ParametricPlot[{x[i, j][t], y[i, j][t]}, {t, 0, Pi}];

이러한 측지선들로부터 x-좌표가 -2,0,1인 세 점을 지나는 삼각형을 다음과 같이 그릴 수 있다.

Block[{circles},
RealAxis = {Thickness[0.01], Line[{{-3, 0}, {2, 0}}]};
circles = {geoH[-2, 0], geoH[0, 1], geoH[1, -2]};
obj = Append[circles, RealAxis];
Show[Map[Graphics, obj], PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0},
ImageSize -> 600]
]

푸앵카레 unit disk 모델 에서의 측지선은 상반평면의 측지선에 케일리 뫼비우스 변환 을 적용하여 얻을 수 있는데, 이는 케일리 뫼비우스 변환이 두 리만다양체의 isometry이기 때문이다 . 단위원보다는 상반평면 상에서 계산을 수행하기가 비교적 간단하므로 이러한 방법이 효율적이다.

케일리 변환은 복소함수로서는 $f(z)=\frac{z-i}{z+i}$ 로 정의되는데, $z=x+iy$ 로 두면,

$$(x,y)\mapsto (\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y+1)^2},-\frac{2 x}{x^2+(y+1)^2})$$

따라서 단위원에서의 측지선들은 다음의 매개화를 통하여 얻어진다.

geoD[i_, j_] :=
ParametricPlot[{(x[i, j][t]^2 + y[i, j][t]^2 - 1)/(
x[i, j][t]^2 + (1 + y[i, j][t])^2), -((2 x[i, j][t])/(
x[i, j][t]^2 + (1 + y[i, j][t])^2))}, {t, 0, Pi}];

이제 앞에서 얻은 그림을 단위원으로 옮기기 위해, 다음과 같은 코드를 이용할 수 있다.

Block[{circles, obj},
UnitCircle = {Thickness[0.01], Circle[{0, 0}, 1]};
circles = {geoD[-2, 0], geoD[0, 1], geoD[1, -2]};
obj = Append[circles, UnitCircle];
Show[Map[Graphics, obj], PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0},
ImageSize -> 400]
]

여기에서 다음과 같은 그림을 얻을 수 있다.

그러면 별 관계는 없는 미분기하 퀴즈 하나 : 이 삼각형의 넓이는?

사용된 매스매티카 파일은 여기에서 다운로드할 수 있다.