Archive for the ‘Uncategorized’ Category

대선 개표 로지스틱 음모론

Sunday, December 30th, 2012

수학노트에 2012년 대선 개표와 로지스틱 곡선 라는 항목을 만들어 두었다. 나는 로지스틱 음모론이 아니라, 사인함수가 숨어있는 음모론같다.

2011년에 다음과 같은 트윗이 트위터 상에서 RT되어 퍼져가던 것을 기억한다

당신이 태어난 해의 끝 두자리에 금년의 당신 나이(만나이)를 더 해보세요. 전 세계 모두가 다 111이란 결과를 얻게 될거예요

뭔가 딱 맞아떨어져 놀랍다는 이러한 계산들이 실은 앞으로 한발, 뒤로 한발 움직이면 제자리라는 것과 본질적으로 다를 게 없다.

쌍곡기하학의 측지선 그리기

Thursday, July 19th, 2012

오래전에 비유클리드 기하학, 특별히 쌍곡기하학에 대해 다음과 같은 여러 글을 쓴 적이 있다.

오늘은 매스매티카로 푸앵카레 상반평면 모델푸앵카레 unit disk 모델 에서의 측지선을 그리는 법을 소개할 것이다.

상반평면은 복소평면 상에서 \mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\} 로 정의되는데, 이 곳에서 측지선은 y 축에 평행한 직선 또는 중심이 실수축에 놓여 있으며, 실수축과 수직으로 만나는 원들이다.

원으로 주어지는 측지선을 다루는 좋은 방법은 이 원이 실수축과 만나는 두 점을 생각하는 것이다. 실수축위에 놓인 점이므로, 두 점의 x-좌표를 가지고 이들을 기술할 수 있다. 두 점의 x-좌표가 각각 i와 j라면, 다음과 같은 식을 통하여 측지선을 매개화할 수 있다.

x[i_, j_][t_] := ((i + j)/2 + Abs[i - j]/2 Cos[t]);
y[i_, j_][t_] := Abs[i - j]/2 Sin[t];
geoH[i_, j_] :=
ParametricPlot[{x[i, j][t], y[i, j][t]}, {t, 0, Pi}];

이러한 측지선들로부터 x-좌표가 -2,0,1인 세 점을 지나는 삼각형을 다음과 같이 그릴 수 있다.

Block[{circles},
RealAxis = {Thickness[0.01], Line[{{-3, 0}, {2, 0}}]};
circles = {geoH[-2, 0], geoH[0, 1], geoH[1, -2]};
obj = Append[circles, RealAxis];
Show[Map[Graphics, obj], PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0},
ImageSize -> 600]
]

푸앵카레 unit disk 모델 에서의 측지선은 상반평면의 측지선에 케일리 뫼비우스 변환 을 적용하여 얻을 수 있는데, 이는 케일리 뫼비우스 변환이 두 리만다양체의 isometry이기 때문이다 . 단위원보다는 상반평면 상에서 계산을 수행하기가 비교적 간단하므로 이러한 방법이 효율적이다.

케일리 변환은 복소함수로서는 f(z)=\frac{z-i}{z+i} 로 정의되는데, z=x+iy 로 두면,

 (x,y)\mapsto (\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y+1)^2},-\frac{2 x}{x^2+(y+1)^2})

와 같은 함수로 이해할 수 있다.

따라서 단위원에서의 측지선들은 다음의 매개화를 통하여 얻어진다.

geoD[i_, j_] :=
ParametricPlot[{(x[i, j][t]^2 + y[i, j][t]^2 - 1)/(
x[i, j][t]^2 + (1 + y[i, j][t])^2), -((2 x[i, j][t])/(
x[i, j][t]^2 + (1 + y[i, j][t])^2))}, {t, 0, Pi}];

이제 앞에서 얻은 그림을 단위원으로 옮기기 위해, 다음과 같은 코드를 이용할 수 있다.

Block[{circles, obj},
UnitCircle = {Thickness[0.01], Circle[{0, 0}, 1]};
circles = {geoD[-2, 0], geoD[0, 1], geoD[1, -2]};
obj = Append[circles, UnitCircle];
Show[Map[Graphics, obj], PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0},
ImageSize -> 400]
]

여기에서 다음과 같은 그림을 얻을 수 있다.

그러면 별 관계는 없는 미분기하 퀴즈 하나 : 이 삼각형의 넓이는?

사용된 매스매티카 파일은 여기에서 다운로드할 수 있다.

숫자 5

Wednesday, July 27th, 2011

" I like explicit, hands-on formulas. To me they have a beauty of their own. They can be deep or not. As an example, imagine you have a series of numbers such that if you add 1 to any number you will get the product of its left and right neighbors. Then this series will repeat itself at every fifth step! For instance, if you start with 3, 4 then the sequence continues: 3, 4, 5/3, 2/3, 1, 3, 4, 5/3, etc. The difference between a mathematician and a nonmathematician is not just being able to discover something like this, but to care about it and to be curious about why it's true, what it means, and what other things in mathematics it might be connected with. In this particular case, the statement itself turns out to be connected with a myriad of deep topics in advanced mathematics: hyperbolic geometry, algebraic K-theory, the Schrodinger equation of quantum mechanics, and certain models of quantum field theory. I find this kind of connection between very elementary and very deep mathematics overwhelmingly beautiful." Don Zagier (Mathematicians: An Outer View of the Inner World)

(http://math.stackexchange.com/questions/11650/what-is-the-connection-of-the-sequence-3-4-5-3-2-3-1-with-deep-topics 에서 발견함)

x_{i}+1=x_{i-1}x_{i+1}, x_0=a, x_1=b로 정의된 점화식이 있다고 하자.

계산을 해보면, 다음과 같은 수열을 얻게 된다.

a,b,\frac{1+b}{a},\frac{1+a+b}{a b},\frac{1+a}{b},a,b,\frac{1+b}{a},\frac{1+a+b}{a b},\frac{1+a}{b}\cdots

주기가 5인 수열이 됨을 확인할 수 있다.

a=3,b=4 인 경우라면, 위에서처럼 3,4,5/3,2/3,1,3,4,5/3 … 을 얻게 된다.

실제로 나는 요즘 이 주기가 5인 수열과 씨름을 하는 중인데, 위의 말대로 많은 흥미진진한 수학들이 여기에 숨어있다는 생각이 든다.

이러한 수열이 등장하는 수학의 하나로 클러스터 대수(cluster algebra)라는 것이 있는데, 이에 대해 알아보고 싶다면, Andrei Zelevinsky,What is... a Cluster Algebra,Notices of the AMS,54 (2007),no .11,494-1495 를 참고해 볼 것.

'삼각함수 이야기 두번째'에 덧붙이는 말

Wednesday, March 9th, 2011

한겨레 사이언스온 2011년 3월 9일 게재 http://scienceon.hani.co.kr/archives/16043

수학에 더 관심있는 사람들을 위한 코멘트.

진자의 주기

진자의 등시성은 참이 아닌데, 단진자의 주기와 타원적분 항목에서는 진폭에 따라 어떻게 주기가 달라지는지 계산을 살펴볼 수 있다.

단순조화진동자

해밀턴 역학에 의한 단순조화진동자(simple harmonic oscillator) 를 다루는 것은 고전역학에서의 적분가능 모형 에서의 관련부분을 참고.

소리합성

마지막 부분의 소리 역시 매쓰매티카를 통하여 합성하였다.

화면조정 1000Hz.wav

신호대기음 dial_tone.wav

통화연결음 ring_back.wav

통화중 busy_tone.wav

용수철 그림

shm.gif

이런 그림은 매쓰매티카로 그려졌다. 여기서 스프링의 형태야 말로 사인함수의 그래프, 거기에 움직임을 통제하기 위해 또 하나의 사인함수가 필요하다.

매쓰매티카 코드

코드는 http://pythagoras0.springnote.com/pages/7385545 에서 copy&paste.

원근법과 사영기하학(2):르네상스의 원근법

Friday, October 29th, 2010

1510년 경 제작된 것으로 전해지는 라파엘로의 '아테네 학당'.

File:Escola de atenas - vaticano.jpg

손이 하늘을 향해 있는 플라톤과 땅을 향해 있는 아리스토텔레스 사이에 정확하게 놓여있는 소실점은, 평행선다발이 하나의 점에서 만난다는 원근법의 원칙을 적용하여 낼 수 있는 극적인 효과를 잘 보여준다.

school_athens_perspective.jpg

1425년경 이탈리아 피렌체의 건축가인 브루넬레스키는 원근법을 발견한다. 아마도 콰트로첸토라 불리는 15세기 이탈리아의 르네상스에서 가장 중요한 순간의 하나라 할 수 있을 것이다. 그의 영향을 받은 마사치오가 1427년경 원근법이 적용된 최초의 회화작품을 남기고, 1435년 알베르티가 원근법을 설명하는 책을 출판하는 등의 일련의 과정을 통해 원근법은 르네상스 예술의 핵심에 자리잡게 된다.

아래에서는 대상을 바라보는 '하나의 관점'과 그에 따른 '수학적인 측정'을 핵심으로 하는 원근법의 성격을 뚜렷하게 보여주는 두 작품, 마사치오의 '성 삼위일체'와 을 피에로 델라 프란체스카의 '예수 책형'을 살펴본다.

1427년경 제작된 마사치오의 '성 삼위일체 Holy Trinity'는 원근법이 적용된 최초의 회화작품으로 알려져 있다. 학부생시절 수강한 '서양미술사' 수업 시간에 처음으로 그 이름을 들었던 기억이 난다. (물론 가르친 사람은 시간강사..)

그림 속에 나타난 평행선다발이 한 점에서 만나는 소실점의 위치를 어렵지 않게 찾을 수 있다.

HolyTrinity_VP.jpg

원근법을 따르는 그림 속에서 지평선의 위치는 화가의 눈높이가 된다. 아래에 링크한 논문 [CKZ2002]에서는 마사치오의 이 작품을 3차원에서 재구성한 그림들을 보여주는데, 다음 그림은 화가의 눈높이와 화면공간 그리고 대상의 위치를 확인할 수 있어, 원근법으로 그림을 그리는 것이란 어떤 것인가를 이해하는데 도움을 준다.

project73_fig1.jpg

물론 이런 재구성이 가능한 것은 바로 원근법의 수학적 성격에서 기원한다. 아래는 다른 각도에서 바라볼 때 얻어지는 그림들이다.

Holy_Trinity_(Masaccio)_3D_reconstruction.JPG

또 다른 작품을 하나 살펴보자. 르네상스 초기의 예술가 피에로 델라 프란체스카는 동시대의 사람들에게는 수학자로도 알려져 있었다 하는데, 그의 그다지 크지 않은 그림(크기는 58.4 cm × 81.5 cm) 인 '예수 책형(Flagellation of Christ)'은 위의 그림보다 좀더 후인 1455–1460년 경에 제작된 것으로 원근법의 수학적 엄밀성을 매우 뚜렷하게 보여준다.

File:Piero - The Flagellation.jpg

논문 [WC1953] 은 이 그림의 평면도와 입면도를 재구성한 다음과 같은 그림을 싣고 있다.

_Flagellation__reconstruction.JPG

그리고 위에서 이미 언급한 [CKZ2002]에서는 이 그림의 3차원 재구성을 시도한다.

_Flagellation__3D_reconstruction.jpg

'수량화 혁명'이라는 제목으로 번역된 크로스비의 'The Measure of Reality : Quantification and Western Society, 1250-1600' 는 회화에서의 이러한 새로운 경향에 대하여 한 챕터를 할애하여 설명을 한다. 수학적인 성격을 지닌 예술과 기법의 등장으로부터 수학은 과연 어떤 자극과 도전을 받을 수 있었을까? 다음 글에서는 이 문제에 대하여 생각해 본다.

언급된 문헌들

지난 글
원근법과 사영기하학(1):평행선이 만나는 곳