잘안되네요
어제 hyperbolic 버전의 Mckay correspondence가 있으면 좋겠다는 생각을 했고, 어떤 것들이 구성요소가 되어야 할까하는 질문을 품고 있었는데, 구체적으로 생각하고 있던 경우에 대해 저녁시간에 문득 떠오른 생각이 있었다. 이것은 2차원이 아닌 3차원에서 일어난다라는 생각에 미친 순간, 내가 시도하려했던 경우는, 6차원 다양체의 singularity, rank 11의 Hyperbolic Lie algebra, 그리고 (E7에서 중요한) 숫자 57 과 관련되어 있다! 라는 생각이 들었고… 숫자들이 전부 범상치 않은게 뭔가 있는게 아닌가… 자리에 낮아 증거찾기를시도~
했으나, 해본 결과로는 다시 개꿈… 에혀…
참고로 John McKay는 뛰어난 관찰로 Mckay correspondence를 발견했을 뿐만 아니라, 196884 = 1 + 196883 라는 의미심장한 식을 처음으로 발견한 억세게 운좋은(?) 수학자. 이런걸 보면, 꼭 힘이 좋아야 하는 것은 아니에요. 눈썰미와 후각 이런 것도 중요한 것 같아요.
펠릭스 클라인 : Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree
20세기 수학의 궤도를 제시한 힐버트의 역사적인 1900년 국제수학자대회 연설의 초반부에는 이러한 언급이 있다. (Mathematical Problems, Lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900 By Professor David Hilbert)
But it often happens also that the same special problem finds application in the most unlike branches of mathematical knowledge. So, for example, the problem of the shortest line plays a chief and historically important part in the foundations of geometry, in the theory of curved lines and surfaces, in mechanics and in the calculus of variations. And how convincingly has F. Klein, in his work on the icosahedron, pictured the significance which attaches to the problem of the regular polyhedra in elementary geometry, in group theory, in the theory of equations and in that of linear differential equations.
세르의 Extensions icosa’edriques (OEuvres Collected Papers, Vol. III, 1972-1984, 550-554) 의 마지막 부분에는 이러한 언급이 있다.
I’ll stop here. But I am aware that the remarks above barely scratch the subject : there is so much more in Klein’s book, and in Fricke’s! Invariants, hypergeometric functions, and
everywhere, a wealth of beautiful formulae!
여기서 언급되고 있는 책이 바로 펠릭스 클라인의 책 Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree 이다. 정이십면체와 5차 방정식이 제목에 등장하고 있는데, 이들 외에도 invariant theory, hypergeometric differential equations 같은 19세기 수학의 높디 높은 성취물들이 모두 함께 정이십면체를 주제로 하여 펼쳐지는 멋진 책이다. 내 말을 믿지 말고, 힐버트와 세르의 말을 들으세요.
1884년 5월 24일로 기록되어 있는 서문의 날짜를 보았다. 쓰여진지 100년도 더 지난 책인데, 역사를 공부하는 것도 아니고 이런 걸 읽을 필요가 있을까 물을 수 있겠다. 그에 대한 답은 나도 확실히 모른다. (어쨌든 힐버트와 세르는 적어도 읽었다) 그냥 나는 오래전부터 이 책을 읽을 수 있게 되기를 바랬다. 학부생 때 이 책을 집어들었을 때는 사실 눈에 들어오는 것이 없어 그냥 밀어뒀던 기억이 있다. 내용도 어려웠거니와, 쓰여진 지 오래된 책은, 그 형식에서도 요즘 책들과는 또 다른 점들이 많이 있다. 어쨌든 한참이 지난 오늘 다시 이 책을 펼쳐보니, 한 100페이지까지의 내용을 파악한 바로는, 거의 다 이해할 있는 것 같아서, 조금 기분이 좋아졌다.
이 책에서 다루고 있는 것은 아니지만, 책을 읽는 도중 등장한 하나의 공식을 보는 순간, Kleinian singularity 에 대한 Mckay correspondence 를 좀더 일반화할 수 없을까 하는 문제를 생각해 보게 됐다. 처음에는 뭔가 있을 것 같다는 희망이 컸었는데, 시간이 지날수록 자꾸 개꿈인 것 같다. 내일 좀더 생각해 봐야겠다.
어쨌든, Klein의 책을 읽다가 Kleinian singularity와 관련된 문제에 대해서 생각을 하게 된다는 것이 신기했다. 그러고보니, Kleinian singularity 라는 말 자체가 이 책에서 기원한 듯 하다. 이런 경험을 할 수 있게 해준다는 것이 나는 고전을 읽는 장점이라고 생각한다. 이러한 책들은 그냥 교과서와는 다르게, 어디를 향해 걸어가야 하는지를 말해준다고 나는 느낀다. 그리고 그것은 아마도 책에 혼이 담겨 있기 때문일 것이다.
이런 훌륭한 내용들을 좀 현대적인 버전으로 새로 써서, 학부생들에게 가르친다면, 그제서야 좀 제대로 된 대학의 수학교육이 이루어질수 있지 않을까. 지금처럼 학부생 교육에 철학도 없이, 각 과목들만 무책임하게 가르치는 식으로는, 수학자를 키우기는 커녕 수학과를 나오고도 수학을 전혀 모르는 사람들만 만들어 졸업시킬 뿐이라고 본다. 대학에서 수학을 배웠다고는 하는데, 타원함수도 모르는 애들을 키워서 뭐할거냐고.
아무튼 결론은 이 책은 (물론 나머지도 마저 봐야겠지만) 훌륭한 책이라는 것, 그리고 학부생들은 이런 책들을 이해하는 것을 목표로 공부의 방향을 잡아보면 어떨까 생각이 든다. 나의 견해로는, 학부생들도 (지도를 잘 받는다면) 충분히 이해할 수 있다. 물론 문제는 교수들이 지도를 잘 안 (못?) 해줄 거라는거… 책 쓰여진게 1884년이라니, 우울한 코리아의 현실이 생각나 또 한숨이 나온다.
비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간
공기를 진행하던 빛이 물을 만나면, 빛은 그 진로를 바꿉니다. 스넬의 법칙으로 기술되는 빛의 굴절 현상.
빛은 왜 똑바로 가지 않고, 그 진로를 바꾸었을까? 왜냐하면 빛의 속도는 물에서보다는 공기에서 더 빠르기 때문입니다. 똑바로 가는 것보다, 차라리 좀 돌아가더라도, 공기에서 먼 거리를 가는 것이, 더 빠른 시간 안에 목표지점에 도달하기 위한 좋은 전략이 됩니다.
이 부분에서 관점을 조금만 바꿔봅시다. 빛의 속도가 변한다는 생각을 할 것이 아니라, 속도는 그냥 일정하다고 하는 것입니다. 하지만 우리가 보기에는, 똑같이 보이는 거리라고 할지라도, 공기에서의 거리와 물속에서의 거리를 재는 방식이 다르다는 것이죠. 똑같은 길이로 보일지라도, 빛이 느끼기에는 공기에서보다 물에서의 길이가 더 길다고 상상해 보는 것입니다. 이런 방식으로 생각해도 빛이 굴절하는 이유를 설명할 수 있을 것입니다. 그리고 이 경우에는, 빛의 궤적은 같은 시간에 더 많은 거리를 움직이는 전략이 됩니다.
(주의 : 저는 솔직히 빛이 왜 굴절하는지 물리적인 이유를 모릅니다 -_-. 빛의 굴절을 끌어들인 이유는 이야기를 좀더 친숙한 상황에서 풀어가기 위한 장치에 불과하니, 이 점 참고하시기 바랍니다)
어쨌든 이 사실들을 이해했다면, 여러분은 이제 비유클리드 기하학으로 가는 큰 발걸음을 내딘 것입니다.
이제 공기와 물 사이에서 단 한번의 굴절이 일어나는 것이 아니라, 매질들이 여러번 바뀐다면, 이 굴절의 법칙을 반복 적용하여, 빛이 다음과 같은 경로를 따르게 될 것이라 생각할 수 있습니다.
그렇다면 이제 한걸음을 더 내딛어, 매질이 만약에 연속적으로 변한다고 가정한다면, 빛은 아마도 직선이 아닌 곡선의 궤적을 그릴 것입니다. 그리고 그 변화의 규칙에 따라서, 어쩌면 다음과 같이 원의 궤적을 그릴지도 모를일이죠.
그리고 만약에 아래로 갈수록, 거리가 엄청나게 길어진다면, 마지막 순간에는 매질과 빛의 각도가 직각이 되어버리겠죠.
위의 그림을 마음에 품고, 이제 쌍곡기하학의 세계로 들어갑니다. 원판이 있습니다. 마치 위에서 본 연속적으로 변하고 있는 매질처럼, 이 원판의 세계에서는 가장자리로 갈수록, 우리 눈에는 똑같이 보이는 길이가 점점더 길어지고 있습니다.(아직 익숙하지 않다면, 빛의 속도가 가장자리로 갈수록 느려진다고 생각하셔도 되겠고요)
거리를 재는 방식은 원래 수식으로 주어져야 하고, 바로 이 수식을 통해 얻어진 미분방정식을 풀어서, 빛의 궤적을 구하는 것이 학부생들이 미분기하를 배울때, 고통을 느끼는 과정이 되겠습니다. 그러나 위와 같은 설명으로도 이미 중요한 아이디어는 많이 전해졌다 말할 수 있습니다. 우리는 미적분없이, 미분방정식을 풀었습니다!!!!!
그리하여 이 원판위에 펼쳐지는 쌍곡기하학의 세계에서는, 유클리드 기하학에서 직선의 역할을, 다음 그림과 같이 원판의 가장자리와 수직으로 만나는 원들이 맡게 됩니다. 물론 원판의 중심을 통과하는 직선도 여기에 포함되구요.
그러니까 아래와 같이 원판위에 두점 P와 Q가 주어졌을때, 이 새로운 기하학의 세계에서 두 점을 지난 직선의 역할을 하는 것이 무엇인지를 묻는다면, 다음과 같은 그림으로 답해야 합니다.
원판에 수직으로 만나는 원들 중에서 P와 Q를 동시에 지나는 원판에 놓여 있는 원의 일부가 바로 측지선이라 불리는 이 새로운 기하학의 직선이 되는 것입니다.
제 희미한 기억이 맞다면, ‘파인만의 또 다른 물리이야기‘ 중 ‘제6강 휘어진 공간’도 상대성이론을 설명하기 위한 준비과정으로 이와 비슷한 비유클리드 기하학에 대한 직관적인 설명을 할 것입니다. 하지만 ‘스넬의 법칙’으로 설명을 시작하는 것은 아마도 아직 세상에 없지 않을까 생각이 듭니다. 왜냐면, 이건 오늘 아침에 제가 생각해낸 방법이거든요 
이제 이 세계의 직선을 배웠으니, 다음번에는 각도 재는 방법과 삼각형에 대해 공부하도록 하겠습니다.
비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈
이미 전에도 언급한 적이 있지만 (’에셔의 예술에 공헌한 수학‘ , ‘에셔와 비유클리드 기하학‘ ) , 에셔의 작품 중에 Circle limit 시리즈가 있습니다.
CIRCLE LIMIT I
CIRCLE LIMIT II
CIRCLE LIMIT III
CIRCLE LIMIT IV
유한 속에 무한을 담아내고 싶어했던 에셔의 마음과 쌍곡기하학이라 불리는 비유클리드 기하학이 만나서 탄생한 작품, Circle limit 시리즈!
얼마전 소개한 ‘구면삼각형의 넓이: Girard-Harriot 의 정리‘ 역시, 구면기하학이라고 하는 비유클리드 기하학의 일종이지만, 사실 구면이라는 것이 3차원 유클리드 공간 속에 있기 때문에, 신선함이라던가 새로움이란 측면에서는 다소 지적인 긴장감이 떨어진다고 할수 있지요. 그러므로 진정한 비유클리드 기하학을 맛보고 싶다면, 여러분은 바로 이 쌍곡기하학이라는 것을 배워야 합니다. 그리고 어떤 의미에서는 쌍곡기하학이 가장 보편적이고 일반적인 기하학이지요! 어째서 그런건지는 차차 배워보도록 합시다.
이 에셔의 그림들을 탄생시키는데 결정적인 역할을 한 H.S.M Coxeter의 기하학 교과서인 Introduction to Geometry에 담겨 있던 그림 하나.
유클리드 기하학이 무한한 평면에서 펼쳐지고, 구면기하학은 말그대로 구면위에서 펼쳐지는 세계였다면, 쌍곡기하학이 펼쳐지고 있는 무대는, 바로 둥근 원!
이 평범해 보이는 원에서 도대체 무슨 일이 일어날 수 있다는 것일까? 알고 싶다면, 이 안으로 뛰어들어와 한번 다함께 딱정벌레가 되어보자구요.
양자장론 때문에 괴로워요
이번 학기에는 물리학과 대학원 양자장론 수업에 가서 앉아 있습니다. 어린 시절 그땐 몰랐죠. 내가 수학과 대학원에 가서 물리학 공부를 하고 있을 것이란 사실을…
학문을 하다보면 꼭 처음에 가려고 마음먹었던 곳에 도달하기보다는, 그곳과는 다른 어딘가에서 뒤를 돌아보니, 여기도 참 와볼만한 곳이었다는 것을 깨닫게 되는 경우가 많다. - (출처 : 언젠가 버스간에서 읽었던 교차로, 대강 이런 뜻이었음)
그래서 고전역학, 양자역학, 상대론, 양자장론을 전부 동시에 공부하고 있어요… -_- … 힘이 듭니다… 이런 거라고 할까요.
고전역학 기초, 양자역학 기초, 상대론 기초 …
그러나 상대는 양자장 ㅠ.ㅠ (짜장면이 아니에요)
LHC가 고장난 틈을 타서 빨리 표준모형을 모두 정복하고 싶은 마음은 굴뚝같지만 ~~~
free field까지는 그럭저럭 견뎠는데, interaction 들어가서 길을 잃었어요. 역시 소통이 어려운가 봅니다.
EBS 다큐 ‘피타고라스 정리의 비밀’ 단상
이전에 한국에서 제작된 수학다큐가 있었는가 잘은 모르겠지만, 이번 EBS 다큐는 어떤 의미에서는 새로운 장을 연게 아닌가 하는 생각이 드네요. 물론 국내 최초의 수학드라마는 ‘눈의 여왕’ ㅋㅋ (문근영 기하학 맨 아래 코멘트 참조). 많은 사람들에게 익숙한 소재를 가지고 다양한 이야기를 풀어간 좋은 작품을 만든것 같아 흐뭇하구요. 그동안 이 블로그에서 언급했던 주제들도 참 많이 등장했던 것 같네요.
미분기하학을 전공한 서울대의 김홍종 교수님이 자문 및 감수를 했다니, 스토리가 “피타고라스의 정리 -> 비유클리드기하학 -> 아인슈타인 일반상대성이론” 으로 진행된 것이 고개가 끄덕여집니다.
한가지 아쉬운 점을 들자면, 피타고라스를 말하면서 음악을 언급하지 않았다는거, 조금 안타까운 점이 있네요. 사실 피타고라스의 위대한 업적 중의 하나는 음악 속에서 수학을 발견했다는 것이죠. 서로 조화를 이루는 음들과 자연수의 비가 관계가 있다는 발견말입니다. 다큐에서도 언급을 했지만 피타고라스의 믿음 ‘모든 것은 수다’ 를 말할 때, 피타고라스에게 있어서 ‘수’라는 것은 유리수의 범위까지만을 말한다고 하죠. 피타고라스가 음악 속에서 발견했던 자연수의 비, 그 사실이야말로 피타고라스의 믿음을 떠받쳐준 자연의 신비였고, 루트2가 무리수라는 것이 발견되었을 때, 그것이 학파 내의 살인으로까지 이어졌다는 사실은, 이러한 배경을 알 때, 좀더 제대로 이해할 수 있지 않을까 생각이 듭니다.
음악 속에 수학이 있다는 사실 - 저는 사실 이걸 대학에 와서야 알게 되었습니다. 대학교 1학년 시절, 기숙사 방 PC앞에 쭈그려 앉아 보던 도올의 논어이야기에서 도올이 음계라는 것이 1부터 2 사이를 어떻게 나누느냐에 따라 결정되는 것이라고 말하던 때가 있었던 것 같네요. 사실 중고등학교의 수학선생님들이 대학에서 교육받는 방식을 생각해 본다면, 그런 사실을 대학생이 될때까지 아무도 언급해주지 않았다는 사실이 하나도 놀랍지 않습니다만, 어쨌든 문제가 있는 교육이라고 생각을 해봅니다. 우리의 중고등학교 시절 수학교육은 지금껏 수학 자체의 지식을 전달하는데만 집중을 해왔지만, 앞으로의 수학교육은 수학이라는 학문이 우리의 문명, 역사, 사회 속에서 차지하고 있는 위치가 무엇인지에 대해서도 잘 전달해 줄 수 있으면 좋겠다는 바램을 가져봅니다.
다음번 수학다큐를 제작한다면, 피타고라스가 음악 속에서 발견한 수의 비밀을 가지고 이야기를 풀어나가봐도 재밌지 않을까 생각되네요. 독특한 수학문명을 건설했던 고대 그리스의 음악은 과연 어떠했을 것이며, 유리수의 비율에 기초한 순정률과 무리수의 세계로 발을 뻗은 평균율 음계의 대비, 음은 왜 하필 12개인가, 동양의 음계와 서양의 음계의 비교, … , 푸리에의 해석학이 가져온 혁명, 컴퓨터가 열어 주고 있는 새로운 음악의 가능성, CAN ONE HEAR THE SHAPE OF A DRUM? 등등 말이죠. 소리와 영상을 모두 효과적으로 활용할 수 있는 다큐야말로 이런데 있어서는 가장 훌륭한 매체가 아닐까요.
어쨌든 앞으로도 수학을 주제로한 이런 좋은 다큐 제작과 같은 노력들이 중단없이 계속된다면, 언젠가는 우리도 BBC다큐가 부럽지 않고, ‘박사가 사랑한 수식’ 부럽지 않은 날이 올텐데 말이죠. 교양있는 수학자와 수학교사 한 10명 정도만 의기투합, 팀을 만들어 활발하게 움직인다면, 엄청난 파괴력이 있을것 같다는 생각을 가끔 하는데 말이죠…
EBS 다큐 ‘피타고라스 정리의 비밀’ 재밌네요
잘들 보고 계신지 모르겠어요. 저도 부지런히 챙겨보고 있습니다. 수학다큐의 가능성을 보여주고 있습니다. 성의있게 잘 만든것 같더군요.
사모스섬 피타고리안 항구에 직각삼각형의 한변이 되어 서있는 피타고라스 동상.
플라톤과 아리스토텔레스를 제치고, 클로즈업되는 순간
정직했던 사유의 비극적 결말
가장 감동적인 장면은 뭐니뭐니해도, 엔딩부분에…
감동의 눈물이…
마지막 3부도 기대된다는…
종종 언급했던 타원이라던가, 자연이나 예술속에서 발견할 수 있는 나선 같은 것을 주제로 삼아도 좋은 교양 수학 다큐 소재가 될법한데…
EBS 다큐 ‘피타고라스 정리의 비밀’
우와 EBS 자체 제작 다큐인가요? ‘3부작 ‘피타고라스 정리의 비밀’라니… 느무느무 기대되고 보고 싶네요. 근데 11시 10분이면, 애들은 다 잘 시간 아닌가?
(서울=연합뉴스) 윤고은 기자 = “모든 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다른 두변의 제곱의 합과 같다”는 ‘피타고라스 정리’는 2천 년간 이어져 내려온 수학의 대표적인 공식 중 하나다.
EBS TV ‘다큐프라임’(오후 11시10분)은 29일부터 내달 1일까지 3부작 ‘피타고라스 정리의 비밀’을 통해 ‘피타고라스 정리 깨기’에 도전한다.
29일 1부 ‘삼각형의 흔적’에서는 ‘피타고라스 정리’의 기원을 찾아 피타고라스의 고향인 그리스 에게해의 사모스 섬을 찾는다.
이 섬에는 불가사의한 터널이 하나 있다. 산의 남쪽과 북쪽을 동시에 뚫어 중간지점에서 만나도록 되어 있는 것. 만약 아주 작은 오차라도 발생한다면 양쪽에서 파 들어간 사람들은 영영 만날 수 없다. 산 양쪽에서 터널을 파는 것은 삼각형의 기하학과 실제 작업에서 발생하는 오차를 줄일 수 있는 고도의 토목기술이 필요하다.
이 터널이 어떤 설계에 의해 완성됐는지 아는 사람은 아무도 없다. 다만 터널이 완성된 지 500년이 지난 후 발명가인 알렉산드리아의 헤론은 이 터널의 비밀을 삼각형과 관련해 설명했다.
30일 2부 ‘a²+b²=c²의 발견’에서는 ‘피타고라스 정리’를 둘러싼 비밀을 살핀다.
2천 년 전 피타고라스가 사원 바닥에 깔린 블록 모양을 보고 이 공식을 발견해낸 과정과 정사각형의 대각선 길이를 어떤 수로도 나타낼 수 없다는 사실을 안 후 이를 숨기기 위해 제자를 죽인 사연을 소개한다.
내달 1일 3부 ‘지구 위의 딱정벌레’에서는 ‘피라고라스의 정리’에 도전하는 사람들의 이야기를 전한다.
독일의 수학자 가우스는 1816년부터 10년 동안 독일의 여러 지역을 탐사한다. 이 탐사의 목적은 도시와 도시 사이의 거리를 측정해 그 자료를 모아 지도를 만드는 것이었다. 이 작업을 통해 가우스는 피타고라스 정리가 틀릴 수 있다는 것을 알아낸다. 그러나 그는 이 발견을 밝힐 수 없었다. 피타고라스 정리는 사람들이 2천 년 동안 진리로 믿어 왔던 것이기 때문이다.
제작진은 가우스의 발견을 근거로 실험을 통해 ‘피타고라스 정리’의 오류를 찾아나선다.
(피타고라스 정리의 비밀을 찾아서)
그런데 실험으로 피타고라스 정리의 오류를 찾아나선다니, 뭔가 이해를 제대로 못한 기자가 이상한 소리를 하고 있는 것으로 믿고 싶네요. 아무튼 저도 방송이 되는대로 어둠의 경로를 찾아 헤매도록 하겠습니다. (품질보장은 못하지만) 많은 시청바랍니다. 어서어서 조중동딴 박멸하고, 수학문명을 이룩하세…
구면삼각형의 넓이: Girard-Harriot 의 정리
평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 그 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.
문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 겠습니다.
북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.
대원둘의 각도가 로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는
가 됩니다. (넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 구면의 넓이는
라는 사실을 이용하면 됩니다) 이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.
위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.
이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.
세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.
따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) =(= 구면의 절반의 넓이)
그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는
그리고 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다! 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요~~~~~!!!!!
수학에서 가장 아름다운 정리들(2) : 설문의 결과
1990. Are these the most beautiful? Mathematical Intelligencer 12(No. 3):37-41. (pdf 보기)
그림 파일로 보고 싶다면, 아래 각 페이지를 클릭.
설문에 응답한 76명이 만든 결과는? (응답자 수가 좀 적네요)
결론: Euler, Euler, and Euler AGAIN!!!
설문응답자의 다양한 코멘트를 분류해서 정리했는데, 그 키워드는 다음과 같습니다.
1. 정리 그 자체가 아름다운 것인가(아니면 증명 혹은 아이디어가 아름다운 것인가)
2. 사회적 영향
3. 시대에 따른 변화
4. 간결함
5. 놀라움 또는 신비함
6. 깊이
7. 관심 분야
8. 표현의 방식 (1등한 녀석을 보셈)
9. 일반성과 특수성
10. 개인적인 기질
아름다움의 판단에 영향을 미치는 요인들이 참으로 많아 보이는군요. 조사자가 조심스레 내리는 결론은 ‘수학적 아름다움의 개념은 간단하게 말할 수 있는 것은 아니다’ … ㄷㄷㄷ 그러니까 수학자들이 ‘아름답다’고 말할때, 사실 그들은 각기 다른 생각을 가지고 말하는 것일 수 있다는…
그나저나 저는 이 설문에서는 꼴찌가 되어버린 (24)번을 좋아하는데 좀 아쉬움이 남는군요. 이것은 라마누잔 때문에 나온 것이라는…
