Archive for the ‘중고교 수학’ Category

중고딩수학의 명장면 목록을 한번 뽑아 봅시다

Thursday, August 21st, 2008

예전에 고교 수학의 명장면 (1), 고교 수학의 명장면 (2)를 쓴 바가 있었다.

따분하고 지루했던, 생각만 해도 싫은 고등학교 수학 시간… (나는 지금 일반적인 관점에서 이야기를 하고 있음을 유의할 것) 그 때는 모든게 싫었지만, 그래도 지금 한번쯤 돌이켜본다면 어떠한 생각이 들까? 솔직히 수학이 그렇게 쓸데없는 것이면, 미술 같은 것도 쓸데없기는 마찬가지다. 그림은 즐겁게 감상이라도 하지… 그렇다면 왜 수학도 작품 하나씩 감상한다고 생각하면 안되는 것일까? 그러니 한번 기억을 더듬어, 고교 수학 시간의 명장면들을 회상해 보기로 하자.

지금 보니 너무 내용이 부실한데, 그래도 어쨌든 동기는 괜찮은 것 같다. 주제도 좀더 폭넓게 하면 좋을 것 같다는 생각이 들었다. 중학수학의 내용까지 한번 포괄적으로 생각해 보는게 좋을것 같다.

중학수학의 명장면이라면 뭐가 있을까..

일단 종종 언급되는 다섯개의 정다면체. 이것이 물론 최고다.
그 다음, 한붓그리기의 내용도 고등학교에 가면 완전히 잊혀지게 되는데, 사실 좋은 내용이다.

이것들 말고는 사실 기억이 가물가물~~

학창시절 수학시간을 한번 돌아보며, 다시 한번 감상해 보고 싶은 중학교 또는 고등학교 수학의 작품(정리)는 어떤 것들이 있나요? 아무 것이나 좋으니 생각나는게 있으면 코멘트를 남겨주세요. 리스트를 한번 만들어 봅시다!

드무아브르의 중심극한정리(i)

Sunday, July 6th, 2008

대학민국 고등학교 수학의 통계 부분에서 다음과 같이 말하면서 증명하지 않고 은근슬쩍 넘어가는 것이 있다.

확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(np,npq)를 따른다는 것이 알려져 있다.

고등학교 교과서에서도 '중심극한정리'라는 말을 언급하는지 하지 않는지는 기억이 나지 않는데(혹시나 고딩 분들 있으면 답변을...), 위에서 말하는 것은 통계학에서 가장 중요한 정리중의 하나인 '중심극한정리'의 가장 단순한 버전이라고 할 수 있다. 중심극한정리는 여러 과정을 거쳐 발전했는데, 최초는 드무아브르의 18세기 버전, 그 다음이 위에 서술된 라플라스의 19세기 초기 버전이다.

대다수의 사람들에게야 정규분포라는 것이 대략 종 모양 곡선이라고 알고 나면 땡이겠지만, 수학을 공부하는 사람의 입장에서 볼 때, 이는 매우 개탄스러운 일이라 말할 수 있다.


대략 종모양...으로는 충분하지 않다

정규분포 [math]N\mu, \sigma^2[/math]의 확률밀도함수는 그냥 대략 종모양인 것이 아니라 수학적으로

[math]\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \right) [/math]

라는 엄밀한 표현을 가지고 있다.

불필요한 상수들을 좀더 간략하게 표현을 하자면, 이 함수는

[math]b \exp \left(-ax^2 \right) [/math]

꼴인데, 이 함수의 그 무엇이 특별하길래 세상을 지배하는가 하는 질문은 너무나도 중요한 질문이라고 할 수 있다. 왜 하필 이 함수인가... 궁금하지 않으십니까?

아무튼 다음 글에서는 우리 고교 과정에서 빼먹어주신 부분을 메꾸는 작업을 하는데, 드무아브르 버전의 중심극한정리를 대강 유도한다. (다시 말하자면, [math]b \exp \left(-a x^2 \right) [/math] 형태로 주어지는 함수의 등장을 두 눈으로 보게 될 것이라는 얘기)

드무아브르 버전이라는 것은 별게 아니라 이항분포의 경우에서 확률이 1/2인 경우이다.(라플라스의 버전은 더 일반적인 확률 p에 대한 근사) 즉 동전을 여러번 던져서 앞면 혹은 뒷면이 나오는 경우를 셀 때, 동전을 많이 던질 경우 이것이 대체로 정규분포곡선을 따르게 된다는 것이다.

이를 가지고 수능시험에도 낼 수 있는 수준의 문제를 들자면,

동전을 100회 던질 때, 앞면이 45회 이상 55회 이하 나올 확률을 구하여라.

라고 물으면,

정규분포표를 보고 0.7286이라고 대답하면 된다.

그럼 다음 글 올라올 때까지, 자바애플릿으로 열심히 동전던지기 시뮬레이션을 해 보시길...

일대일대응 그리고 카탈란의 수(Catalan Numbers)

Saturday, May 10th, 2008

수를 세다

화면에 나타나 있는 원의 개수를 세어보자.

이 때 우리는 이 원들에 번호를 매겨가면서 수를 셀 수 있다.

무엇이 잘못되었는가? 똑같은 숫자가 두 개의 원에 붙여졌다. 이 때문에 마지막 숫자가 원의 개수와 같지가 않다.

그럼 다음을 보자.

원의 개수는 13개 인가? 아니다. 건너 뛴 숫자가 있기 때문이다.

그럼 다음을 보자.

위에서 얻은 교훈에 의하여 이것이 맞게 세어 졌는가를 확인하기 위해서 우리가 해야 할 일은, 두 가지다.

첫번째로는 같은 숫자가 두 번 이상 등장하지 않는가를 보는 것이고,
두번째는 1부터 12까지의 수가 모두 등장했는지를 보는 것이다.

이 두 가지 테스트를 모두 통과하면 우리는 원의 개수와 마지막에 붙은 수는 같다고 믿을 수 있다.
생각해 보면 우리가 수를 세는 행위는 본질적으로 저것과 같다.
물건을 셀 때, 손가락을 가지고 하나, 둘, 셋 붙여 나가지 않는가.
현실에서 개수가 맞게 세어지지 않은 경우는 다음 중의 하나 일 것이다.

0. 아예 번호가 붙지 않은 것이 있다.
1. 똑같은 물건을 두 번이상 센다.
2. 빼먹은 숫자가 있다.

일대일대응

두 집합 사이에 함수가 존재한다고 할 때, 0번의 조건은 벌써 만족된 것이다.
1번 조건이 의미하는 것은 정의역의 원소가 서로 다른 것으로 대응됨을 뜻한다.
2번 조건은 공역의 원소가 빠짐없이 정의역의 원소에 의하여 대응되었음을 의미한다.

이러한 조건이 성립하면 두 집합의 원소의 개수는 같게 된다.
의식하지는 않지만,수를 센다는 것은 세는 것과 자연수 사이의 일대일대응을 만들어 주는 것이다.
매우 간단해 보이지만 일대일대응은 무한의 개수도 셀 수 있게 한다.

문제

문제는 이것이다.
우리는 (0,0)에서 (n,n)까지 가야 한다. 단 y=x를 넘어서서는 안 된다는 것이다.
몇 가지 방법이 있겠는가? 물론 최단거리로 간다.

문제해결

(0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수를 구한 다음,
그 중에서 y=x를 넘어서 가는 방법의 수를 빼면 된다. 이 방법의 수가 얼마가 되겠느냐를 구하는 과정에서 일대일대응이 등장한다.

일단계

(0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수를 구해 보자.
이것은 매우 간단한 문제인데, 일대일대응을 통하여 문제를 풀어보자.
각 경로에서 x축으로 움직이는 것을 X로 표시하고 y축으로 움직이는 것을 Y로 표시하면, 각 경로는 X와Y를 n개 씩 쓴 문자열로 표현된다. 이것이 일대일 대응이다. 각각의 경로는 서로 다른 문자열로 표현될테고, 문자열은 또한 어떤 경로를 표현할테니까 말이다.
따라서 죽 늘어놓은 2n개 중에서 n개를 골라 X라고 써 놓으면 나머지 위치는 Y가 될 것이고 결정될 것이고, 그런 방법의 수는 이다.
즉, (0,0)에서 (n,n)까지 갈 수 있는 모든 방법의 수는 이다.

이단계

이제 y=x를 넘어서서 가는 경로의 수를 구하자. 경로는 반드시 y=x+1과 만나게 될 것이다.

이 때, 이 경로의 (0,0)에서부터 y=x+1과 처음으로 만나는 점까지를 잘라서, y=x에 대칭시키자.

그리고 나머지 경로를 평행이동시켜 대칭이동된 경로에 갖다붙이자.

그 결과는 (0,0)에서 출발하여 (n+1,n-1)에 도착하는 경로일 것이다.

위에서 한 작업은 서로 다른 두 경로의 집합 사이에 어떤 대응을 만들어 낸 것이다. 놀랍게도 이러한 대응은 일대일 대응이다.
이러한 대응이 일대일대응임을 보이는 일은 일대일대응을 찾아내는 것보다는 훨씬 쉬운 일이니 이과정은 증명에 엄밀을 기하고 싶은 사람만 해 보도록 하자. 다시 강조하건대 일대일대응임을 보이기 위해서는 두 가지를 생각해야 한다. 첫번째는, 서로 다른 것으로 대응되었는지를 살피고, 두번째는 공역의 모든 원소가 대응되었는지를 살피는 것이다.

y=x를 넘어서서 가는 경로는 (0,0)에서 (n+1,n-1)까지 가는 경로와 일대일 대응되므로 그 개수는 이다.

따라서 처음에 제기했던 문제의 답은 다음과 같다.

이렇게 해서 얻어진 수열 을 catalan number라고 하는데, 이 수는 조합수학에서 꽤나 자주 등장한다.
그 예로 Pick's theorem의 증명과정에서 다각형을 삼각형으로 분할하는 것이 필요했는데, catalan number는 볼록다각형을 삼각형으로 분할 하는데 있어 몇 가지 방법으로 할 수 있는가와 관계가 있다.

카탈란의 수에 대해 더 알고 싶은 사람은 위키 Catalan number 를 참조.

(이 그림들은 내가 예전에 직접 만든 것인데, 참 잘 만들었다 :)

리만의 제타함수 (6) : 자연상수

Saturday, April 5th, 2008

이 글은 다음 글들에 이어지는 시리즈의 여섯번째 글이다.

글 싣는 순서
리만의 제타함수 (1)
리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가
리만의 제타함수 (4) : 지수법칙
리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장

이제부터 두번에 걸쳐, 시리즈의 중반 특집으로, 박사가 사랑한 수식-오일러의 공식에 대하여 설명한다. 그리하여 오늘은 자연상수 숫자 e를 설명한다. 짧은 배경설명뒤에 동영상 강의가 준비되어 있다. 그러나, 아뿔싸! 첫방송이다 보니, 얼굴에 기름이 좔좔 흐르고 있는 상황을 파악하지 못하고 말았다. 왜 방송할 때, 사람들이 화장을 하나 했다. 처음에는 다 그럴수 있는 것이라 너그럽게 보아주시면 되겠다. 중요한 것은 이곳이 수학의 담론을 생산하는 수학 블로그라는 것이다!

자연상수는 수열의 극한을 통하여 정의된다. 그리하여 그 수열을 먼저 이해하는 것이 필수적이다. 수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자.

비록 한국에서는 경제학을 문과로 분류하는 다소 이해할 수 없는 상황이 벌어지고 있지만, 자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금은

[math]a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, \cdots, [/math]

로 늘어나게 된다.

이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계...) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다.

[math](1+\frac{1}{2})^2=2.25 [/math]

수익이 더 높아졌다!

만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다.

[math](1+\frac{1}{3})^3=2.370370 \cdots [/math]

수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다.

[math](1+\frac{1}{n})^n[/math]

이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다.

첫번째, 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다.
두번째, 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다.

이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은,

[math]\{(1+\frac{1}{n})^n\}[/math]

이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 "리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장"에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다.

지루할 수 있으니, 10분가량 진행되는 동영상을 셋으로 나누었다.

1. 개요 및 수열 [math](1+\frac{1}{n})^n [/math].

2. [math](1+\frac{1}{n})^n < 3[/math] 의 증명

3. "[math](1+\frac{1}{n})^n [/math]는 증가수열이다" 및 자연상수의 정의.

미적분학의 기초가 되는 숫자 e를 정의하는 과정이니, 미적분학을 피한 증명을 사용했다. 산술-기하 평균 부등식이 필요하다.

리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장

Sunday, March 30th, 2008

이 글은 다음 글들에 이어지는 시리즈의 다섯번 째 글이다.

글 싣는 순서

리만의 제타함수 (1)
리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가
리만의 제타함수 (4) : 지수법칙

후속편 오래 기다리신 분들께는 정말 죄송. 조국의 미래가 풍전등화인지라 -_-;; 아무튼 다시 연재물 시작.

지난 번에는 지수법칙을 설명했다. 지수법칙이 자연수 범위, 정수 범위, 유리수 범위로 확장되는 것을 다뤘다. 이제 지수를 실수범위까지 확장하려 한다. 그리하여 지난 번에 마지막으로 남긴 질문은 바로 이것.

[math]2^{\sqrt{2}}[/math]

를 어떻게 정의해야 할까?

이 질문은 내 기억이 정확하다면, 내가 옛날에 고딩시절 고등학교 수학 교과서에서 읽은 적이 있다. 검색을 해 보니, 웹상에 올려진 해당 교과서 부분은 이렇게 서술되어 있다. (참조한 링크)

유리수 지수까지는 지난 번 글에서 보듯이 잘 정의가 되어 있으므로,

[math]2^1, 2^{1.4}, 2^{1.41}, 2^{1.414}, 2^{1.4142}[/math]

는 아무런 하자가 없는 실수들이다. 문제는 그 다음 구절에 있다.

...은 점점 일정한 값에 가까워진다는 것이 알려져 있다. 그 값을 [math]2^{\sqrt2}[/math]으로 정한다.

이 정의는 명확해 보이는가? 고등학교 수학 교과서가 실수지수를 이렇게 에둘러 정의했다는 사실, 알고 있었는가? 고등학교 수학교과서는 왜 더 명확한 언어를 사용하지 않고, '어찌어찌하다는 것이 알려져 있다'는 것을 언급하며 은근슬쩍 정의를 하고 있는 것일까? 바로 이 지점에서, 내가 지난 '리만의 제타함수 (2) : 수의 체계'에서 했던 말을 상기할 필요가 있다.

그러면 이제 나는 중고교수학에 있는 모두 쉬쉬했던 비밀 하나를 말하려 한다. 그것은 바로 중고등학교 수학 교과과정에서는 ‘실수’가 무엇인지 제대로 안 가르쳐준다는 것이다!!

실수가 무엇인지 고등학교에서 제대로 가르쳐주지 않기 때문에, 실수지수를 정의하는 부분도 정확히 가르칠 수 없다. 하나 주의할 것은 내가 지금 고등학교 교과서를 비난하고 있는 것이 아니라는 것이다. 실수를 제대로 설명한다는 것은 쉬워보이지만 그게 또 아주 쉽지만은 않다. 실수의 정의는 대학교 수학과 '해석개론'이라는 과목에서 제대로 배우게 된다. 대학 1학년들이 배우는 미적분학에서도 사실은 '실수'를 피하고 지나간다.

'리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가'에 따르자면, 결국 실수란 무한소수들 아니던가? 그렇다. 그러나 그보다 더 이전에 실수에 알아야 할 사실이 있다. 우리는 유리수를 크기에 따라 일렬로 세울 수 있다. 실수의 가장 근본적인 이미지는 이 크기에 따라 일렬로 늘어선 유리수들 사이사이의 구멍을 모두 메운 것이다.

그렇다면 수직선상에서 유리수의 구멍을 메워 얻어진 실수는 유리수와 무엇이 다른 것일까?

[math]1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \cdots [/math]

로 진행되는 '유리수' 수열을 생각해보자. 이 수열은 알다시피 루트 2에 점점 가까워진다. 루트 2는 그런데 유리수가 아니다. '유리수'로 구성된 수열은 유리수를 벗어나 '무리수'로 수렴할수도 있다는 것이다!

바로 이것이 유리수와 실수의 세계를 갈라놓는 성질이다. 어딘가로 점점 가까워지는(?) '실수' 수열은 반드시 '실수'로 수렴한다. 실수 밖으로 절대 벗어나지 않는다! 바로 이 성질을 갖기 위해서, 유리수의 구멍들을 모두 메워 실수를 만들어 낸 것이다. 이를 실수의 '완비성'이라고 한다.

이 완비성은 이것말고도 여러가지 버전으로 나타나는데, 한 가지 버전은 다음과 같이 서술된다.

단조증가하는 유계수열은 수렴한다

좀더 풀어쓰자면,

어떤 수열이 계속 증가하고, 등장하는 모든 수 어떤 고정된 수보다 작다면, 그 수열은 수렴한다

이제 위의 교과서에 등장한 수열을 다시 보면,

[math]2^1, 2^{1.4}, 2^{1.41}, 2^{1.414}, 2^{1.4142}, \cdots [/math]

로 진행되는 '실수'들의 수열은 보다시피 계속 증가하고 있으며, 모두 [math]2^2=4[/math]보다는 작다. 따라서 수렴하고 따라서 '실수'하나를 정의한다. 그러므로 바로 이 '완비성'이라는 것이, 고등학교 수학 교과서가 그냥 '알려져있다'고 언급하고 넘어가는 부분이다. (그런데 지금까지 내가 한 논의들을 꼼꼼히 읽어보면, 나는 '수렴'이라는 말도 사실은 정의한 적이 없다)

나는 지난번 글의 마지막 부분에서 실수지수를 정의하는 작업은 이전의 작업과 질적으로 다르다는 것을 언급했다. 위의 논의에서 보듯이 실수의 정의와 실수지수의 정의는 '극한'의 개념을 건드리고 있고, '완비성'이라는 개념을 필수적으로 요구한다.

제목은 리만의 제타함수인데, 자꾸 실수의 정의에서 맴돌고 있으니, 조금 재미가 떨어지고 힘이 든다. 다음 번에는 좀더 구체적인 진짜 수학을 얘기하려 한다. 다음 주제는 자연상수 'e'. 글쓰기도 힘든데, 다음부터는 동영상 강의를 짧게 시도해보는게 어떨지 고민하고 있다. 독자들의 반응을 봐서...