Archive for the ‘수학 교육’ Category

수학의 정석을 넘어서

Saturday, July 4th, 2009

수학의 정석(數學의 定石).

간단한 소개

대한민국의 대표적인 고등학교 수학 교과 참고서

1966년 8월 31일에 초판 발행, 지금도 같은 이름으로 성지출판사에서 발행

누적 판매량 4000만 권 이상

지금도 매년 120만 권 이상 판매

이 교재의 판매로 받은 인세를 모아서 1981년에 상산고등학교를 설립


책의 구성

장별로 동일한 형태

기초적인 단계의 일반적 설명, 예제, 기본적인 문제 유형 및 관련 유제, 실력 연습문제 등의 단계로 구성

출판된 시점에서는 혁신적인 구성

이후 다른 모든 참고서의 기본적인 모델이 됨.

계속되는 업데이트는 수학의정석(數學의 定石) 항목을 참조.

정석은 비록 하나의 사기업에서 만든 책일뿐이지만, 현실적으로 한국의 수학교육에서 빼놓을 수 없는 정도를 뛰어넘어 매우 중요한 위치를 차지하고 있다고 생각한다. 교과서보다도 더 핵심적인 역할을 담당하고 있을 정도로.(그런데 수학교과서는 정말 누가 보기는 하나?) 나조차도 고등학교 수학 수업 시간에, 어떤 부분을 잘 모르겠다면 '실력 정석의 연습문제 10번 풀어보면 된다'는 말을 들으면서 선생님께 들으면서 자랐다. 수학 얘기가 나오면 어른들에게서 수학의 정석 외웠다는 얘기 들어본 것도 한두번이 아니다.


과연 우리에게 '수학의정석'이란 무엇인가? 이것은 계승의 대상일까, 극복의 대상일까? 정석은 과연 한국의 수학교육에서 어떤 역할을 담당해 왔으며, 명과 암은 무엇일까? 앞으로 틈틈이 생각해 보기로 했다. 한국의 교육에, 더 나아가 수학교육에 변화가 필요하다면, 반드시 '수학의 정석'을 짚고 넘어가야 할 것 같다. 


내가 한국의 수학교육에 대하여 아쉽게 생각하는 것은, 중고등학교의 공교육 과정을 통하여 수학이라는 학문의 성격을 제대로 가르치고 있지 못하다는 것이다. 성인들을 붙잡고 수학에 관해 할 수 있는 말을 찾아보자면  '어려운것' 이라는 전부인 경우가 매우 큰 비율을 차지하지 않을까?  정말로 그게 다인 경우가 많을 것이다. 


수학의 정석이 제공하고 있는 수학기술 연마의 효율성에 대해서는 일단 오랜기간 시장지배적 상품이라는 사실로 대신하고 넘어가자. 그 외의 부분으로 눈을 돌려볼때, 내가 현재의 '한국의 교육과 수학의 정석 패키지'가 가진 문제로 생각하는 것들은 다음과 같다.

  • 특정한 수학적 대상에 대하여 더 특별한 호기심을 가지고 깊게 사랑해보도록 하는 경험을 제공하지 못한다.
  • 발견의 기쁨을 가르치지 못한다.
  • 지식이라는 것이 한정되어 있고 정형화되어있다고 믿게 만든다.
  • 수학이라는 학문이 오랜 시간에 걸친 여러 문명의 교류 속에서 수많은 사람들이 함께 참여하고 도전한 결과로 얻어진 성취라는 것을 전혀 가르치지 못한다.
  • 그 도전이 끝나지 않았으며 지금도 계속 되고 있음을 인식시키지 못하는 것도 물론이다.

여기에는 스토리 즉 이야기의 구조가 전혀 없으며, 지식의 추구에 동기를 부여하는데는 거의 완벽하게 실패하고 있는 것이 아닐까? 일단 오늘은 여기까지.

생각의 소재가 무지무지 생소합니다. '수학의 정석'에 대한 모든 좋은 혹은 좋지 않은, 긴 혹은 짧은, 추억, 기억, 인상, 평, 이야기들을 기다립니다.




아벨의 말, 수학공부와 백투더소스

Sunday, May 17th, 2009

수학을 만든 사람들이라는 책을 쓴 E. T. Bell의 또다른 책 'Mathematics: Queen and Servant of Science' 에는 어떻게 짧은 기간 동안 그렇게 생산적인 업적을 남길 수 있었는지에 대한 질문에 대해 아벨이 다음과 같이 대답했다고 나온다.

By studying the masters, not their pupils.

소스로 돌아가라는 아벨님의 말씀이다. 안타깝게도 아벨이 이런 말을 어떻게 남겼는지에 대해서는 잘 모르겠다.

아무튼 이 말을 교훈삼아서 쓰여진 'Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference' by Otto B. Bekken and Reidar Mosvold 라는 책도 있으니, 많은 사람들의 마음에 영감을 준 말이라고 할 수 있겠다.

어떠한 새로운 발견도 시간이 지나면, 점점 더 깔끔하게 다듬어지게 마련이라, 이 때는 본래의 발견과는 많이 차이가 나는 것이 사실이다. 보통의 수학 교과서라는 것이 대부분 이런 식이다. 가령 선형대수를 배운다고 하면, 대부분 1챕터부터 벡터공간과 선형사상으로 시작을 해서 응용으로 끝나게 되는데, 선형대수라는 과목의 형성은 이와는 반대로 수많은 수학적 현상 중들이 가진 선형성이라고 하는 공통된 요소들이 뽑혀지고 추출되고 녹여져서 만들어 진 것이라고 할 수 있다. 그렇기 때문에 일반적인 교과서는 보통 발견의 역과정으로 서술되게 되고, 발견의 맥락과 기법을 잘 가르치지 못하는 맹점이 있다. 수학에서 추상화가 중요한 것이라면, 그러한 추상화의 기쁨이란 그 이전에 구체적인 것들의 공통된 것의 이해로부터 오는 것이 아닐까. 내가 가령 책을 쓴다면, 나는 발견의 논리를 최대한 보존하여, 다양한 수학적 현상을 먼저 기술하고, 그 다음에 거기서 공통적으로 추출된 것들을 가지고 정의를 하는 스타일을 따르고 싶다.

아무튼 아벨의 말은 그런 게 아닐까. 서술이 다소 거칠더라도, 오리지날 속에 담긴 insight를 놓치지 말라고.

피타고라스 평균 : 산술-기하-조화 평균

Tuesday, May 12th, 2009

학교를 자전거로 왕복하는데 갈 때는 4km/h 속도로 가고 올 때는 6km/h 속도로 왔다. 평균 속도는 얼마인가?

* 답 5km/h 아님

A는 산술평균, G는 기하평균, H는 조화평균 이들을 통털어 피타고라스 평균이라고 한다. 즉 피타고라스 평균에는 세 가지 종류가 있다. (라고 http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_means 에 나와 있음)

A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)

G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}

H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

File:MathematicalMeans.svg

위 문제의 답이 4.8km/h 로 산술평균인 5km/h보다 작은 것이 바로 위의 그림으로 설명된다.

조화평균은 언제나 산술평균보다 작다.

A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)

항목을 통해 계속되는 업데이트

아벨이 들려주는 인수분해 이야기라는 책표지

Saturday, April 25th, 2009

아벨이 들려주는 인수분해 1 이야기 라는 책이 있다는데, 표지 그림을 보니 이렇다.

ㅡㅡ;;

Niels Henrik Abel (August 5, 1802 – April 6, 1829)

아무리 봐도 이건 20대의 얼굴일수는 없지 않은가... 아... 멀고먼 수학문명이여... 이건 영웅의 얼굴이 아니야.

When I was a student, abelian functions were, as an effect of the Jacobian tradition, considered the uncontested summit of mathematics and each of us was ambitious to make progress in this field. And now? The younger generation hardly knows abelian functions.
How did this happen? In mathematics, as in other sciences, the same processes can be observed again and again. First, new questions arise, for internal or external reasons, and draw researchers away from the old questions. And the old questions, just because they have been worked on so much, need ever more comprehensive study for their mastery. This is unpleasant, and so one is glad to turn to problems that have been less developed and therefore require less foreknowledge - even if it is only a matter of axiomatics, or set theory, or some such thing.
Felix Klein (1849-1925), Development of Mathematics in the 19th Century, 1928

관련 항목은 아벨상 항목을 통해 추후 업데이트

정다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2

Saturday, April 4th, 2009

날로 먹는 포스팅.

간단한 소개
  • 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
  • 다면체 그림 V E F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
    정사면체 Tetrahedron 4 6 4 4-6+4=2
    정육면체 Hexahedron (cube) 8 12 6 8-12+6=2
    정팔면체 Octahedron 6 12 8 6-12+8=2
    정십이면체 Dodecahedron 20 30 12 20-30+12=2
    정이십면체 Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2
증명
  • 먼저 정다면체를 구 위에 그려진 점선면의 배치로 생각하자.
  • 그 다음, 꼭지점이나 선분위에 있지 않은, 면 내부의 한점에서 평면으로 사영을 시킨다.
  • 그러면 평면상에 아래와 같은 그림을 얻게 되는데, 평면상에 나타난 그림을 통해 V,E,F를 세면 된다.

eulerani.gif

  • 여 기서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다. 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다. 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 되고, 이 경우 V=V, E=V-1 ,F=1 이 되므로, V-E+F=2 이다.

추후 업데이트 및 참고자료는 스프링노트의 '다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2' 를 참조.