Archive for the ‘수학책 (학술)’ Category

펠릭스 클라인 : Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree

Tuesday, October 7th, 2008

20세기 수학의 궤도를 제시한 힐버트의 역사적인 1900년 국제수학자대회 연설의 초반부에는 이러한 언급이 있다. (Mathematical Problems, Lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900 By Professor David Hilbert)

But it often happens also that the same special problem finds application in the most unlike branches of mathematical knowledge. So, for example, the problem of the shortest line plays a chief and historically important part in the foundations of geometry, in the theory of curved lines and surfaces, in mechanics and in the calculus of variations. And how convincingly has F. Klein, in his work on the icosahedron, pictured the significance which attaches to the problem of the regular polyhedra in elementary geometry, in group theory, in the theory of equations and in that of linear differential equations.

세르의 Extensions icosa'edriques (OEuvres Collected Papers, Vol. III, 1972-1984, 550-554) 의 마지막 부분에는 이러한 언급이 있다.

I'll stop here. But I am aware that the remarks above barely scratch the subject : there is so much more in Klein’s book, and in Fricke’s! Invariants, hypergeometric functions, and
everywhere, a wealth of beautiful formulae!

여기서 언급되고 있는 책이 바로 펠릭스 클라인의 책 Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree 이다. 정이십면체와 5차 방정식이 제목에 등장하고 있는데, 이들 외에도 invariant theory, hypergeometric differential equations 같은 19세기 수학의 높디 높은 성취물들이 모두 함께 정이십면체를 주제로 하여 펼쳐지는 멋진 책이다. 내 말을 믿지 말고, 힐버트와 세르의 말을 들으세요.

1884년 5월 24일로 기록되어 있는 서문의 날짜를 보았다. 쓰여진지 100년도 더 지난 책인데, 역사를 공부하는 것도 아니고 이런 걸 읽을 필요가 있을까 물을 수 있겠다. 그에 대한 답은 나도 확실히 모른다. (어쨌든 힐버트와 세르는 적어도 읽었다) 그냥 나는 오래전부터 이 책을 읽을 수 있게 되기를 바랬다. 학부생 때 이 책을 집어들었을 때는 사실 눈에 들어오는 것이 없어 그냥 밀어뒀던 기억이 있다. 내용도 어려웠거니와, 쓰여진 지 오래된 책은, 그 형식에서도 요즘 책들과는 또 다른 점들이 많이 있다. 어쨌든 한참이 지난 오늘 다시 이 책을 펼쳐보니, 한 100페이지까지의 내용을 파악한 바로는, 거의 다 이해할 있는 것 같아서, 조금 기분이 좋아졌다.

이 책에서 다루고 있는 것은 아니지만, 책을 읽는 도중 등장한 하나의 공식을 보는 순간, Kleinian singularity 에 대한 Mckay correspondence 를 좀더 일반화할 수 없을까 하는 문제를 생각해 보게 됐다. 처음에는 뭔가 있을 것 같다는 희망이 컸었는데, 시간이 지날수록 자꾸 개꿈인 것 같다. 내일 좀더 생각해 봐야겠다.

어쨌든, Klein의 책을 읽다가 Kleinian singularity와 관련된 문제에 대해서 생각을 하게 된다는 것이 신기했다. 그러고보니, Kleinian singularity 라는 말 자체가 이 책에서 기원한 듯 하다. 이런 경험을 할 수 있게 해준다는 것이 나는 고전을 읽는 장점이라고 생각한다. 이러한 책들은 그냥 교과서와는 다르게, 어디를 향해 걸어가야 하는지를 말해준다고 나는 느낀다. 그리고 그것은 아마도 책에 혼이 담겨 있기 때문일 것이다.

이런 훌륭한 내용들을 좀 현대적인 버전으로 새로 써서, 학부생들에게 가르친다면, 그제서야 좀 제대로 된 대학의 수학교육이 이루어질수 있지 않을까. 지금처럼 학부생 교육에 철학도 없이, 각 과목들만 무책임하게 가르치는 식으로는, 수학자를 키우기는 커녕 수학과를 나오고도 수학을 전혀 모르는 사람들만 만들어 졸업시킬 뿐이라고 본다. 대학에서 수학을 배웠다고는 하는데, 타원함수도 모르는 애들을 키워서 뭐할거냐고.

아무튼 결론은 이 책은 (물론 나머지도 마저 봐야겠지만) 훌륭한 책이라는 것, 그리고 학부생들은 이런 책들을 이해하는 것을 목표로 공부의 방향을 잡아보면 어떨까 생각이 든다. 나의 견해로는, 학부생들도 (지도를 잘 받는다면) 충분히 이해할 수 있다. 물론 문제는 교수들이 지도를 잘 안 (못?) 해줄 거라는거... 책 쓰여진게 1884년이라니, 우울한 코리아의 현실이 생각나 또 한숨이 나온다.

위상수학과 미분기하 입문자를 위한 추천 도서

Saturday, September 20th, 2008

대학의 수학과 학부에서는 위상수학과 미분기하학을 따로 떼어서 가르친다. 그런데 이런 교육에는 다소 문제점이 있다. 일찍부터 위상과 기하, 그 둘을 함께 놓고 공부해야 제대로 된 안목을 가질 수 있다고 본다. 미분기하학을 처음 접하게 되면, 계산이 보통 지저분한 것이 아니라서, 눈알만 뱅글뱅글 돌고 핵심으로 다가가기가 쉽지 않다. 주로 곡면의 기하학을 배우는 미분기하학에서, 그 핵심에 다가가는 열쇠는 바로 곡률이 상수인 곡면들을 잘 이해하는 것이다. 그래야만

위상이 기하를 결정한다

와 같은 뽀대나는 말의 의미에 빨리 접근해 갈 수 있다.

이러한 것들을 이해하기 위해, 교수가 너무 못 가르친다고 불평하면서, 이해도 안가는 교과서를 붙잡고 있는 것이 능사가 아니다. 수학책 중에는 비록 수업에서 쓰일 수 있는 교과서가 아님에도, 그보다 훨씬 효과적으로 본질적인 측면을 말해주는, 혼자 읽어내려갈 수 있는 좋은 책들이 많이 있다.

위상수학과 미분기하학을 연결하는 실마리를 잡기 원하는 사람들에게, 교과서는 아니지만 그보다 훨씬 좋은 두 권의 책을 추천한다.

Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology

The Shape of Space

수학과 지망생 뿐만이 아니라, 위상수학 및 미분기하 입문을 원하는 사람들에게도 좋은 책이 될 것이라 생각한다.

AGM을 이용한 파이 계산 알고리즘

Monday, June 30th, 2008

다음과 같은 초기값과 점화식을 정의한다.

piagm.JPG

여기에는 덧셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근 연산만 사용된다.

수열 [math]\pi_n[/math]은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.

[math]\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772[/math]
[math]\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645[/math]
[math]\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675[/math]
[math]\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666[/math]
[math]\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751[/math]

한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수를 준다. 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산하게 된다. 이 알고리즘은 Pi and the AGM 이라는 책에 잘 나와 있다. (라고는 하지만 사실은 몇개 연습문제의 산들을 넘어야 한다 ㅎㅎ)

이러한 흘러간 시대의 모습을 하고 있는 수학을 볼때면, 마치 개발시대를 지나며 잃어버린 옛 정취같은 것을 느끼게 된다. 요즘 학생들이야 온갖 추상적이고 현란한 용어가 난무하는 현대수학의 언어와 도구들을 익히는데 온 힘을 써야하는 것이 현실이지만, 내가 보기에 이런 옛스런 수학은 수학에서도 일종의 교양같은 것이라 할 수 있다. 교양이란게 뭔 필요냐 싶지만, 교양이 없으면, 근본이 되어 있지 않은, 지나가는 바람에 이리저리 휘둘리는 잡것이 되기 쉽상이다. 내 생각으로는 학부에서의 수학교육은 이러한 교양에 해당하는 필수적인 옛수학에서부터 추상적인 현대수학까지 다리를 놓아 주는 것을 목표로 삼아야 한다. 이러한 관점에서 볼때, 나는 학부때 해석학을 참 개똥같이 배웠구나 싶다.

Abel, Niels H. (1802 - 1829)
[A reply to a question about how he got his expertise:]
"By studying the masters and not their pupils."

Hypergeometric Functions, My Love

Wednesday, November 8th, 2006

복소해석학의 고전인 Ahlfors의 "Complex Analysis" 는 hypergeometric differential equation 에 대한 섹션으로 끝이 난다. 이렇게 책이 끝나는 곳에서 새로운 이야기는 시작된다.

어제는 도서관에서 "Hyper Geometric Functions, My Love" 라는 책을 빌려다 앞부분을 조금 넘겨 보았다. 제목이 매우 로맨틱하다. 책의 내용 역시 보통 수학책의 구성을 따르는 것이 아니라, 저자만의 독특한 개성과 관점에서 쓰여져 있다. "projective space 에 주어진 n point set은 얼마나 서로 다를 수 있는가?"라는 간단한 질문으로 책은 시작된다. 여기서 어떻게 이야기가 미분방정식으로 이어질 것인가? ...... 궁금하다.....

아무튼 요즘 내가 느끼는 것은 이렇게 중요한 고전수학의 내용들에 대해서, 학부 과정이 끝난 상태에서도 이렇게나 무지할수가 있는것일까 하는 것이다. 이런것들을 아무도 이야기해주지 않았다. 지금 보니까, 조금만 누군가 친절하게 설명해줬으면 부족한대로 방향은 잡아갈 수 있었을 것이라 생각이 되는데... 학부 수학 교육을 뭔가 심각하게 뜯어 고쳐야 한다는 생각이 든다.

수학자의 화엄경 읽기 - 인드라망

Saturday, January 21st, 2006

요즘 나는 Indra's Pearls 라는 책을 멀리 미국에서 직접 구해서 잼나게 읽고 있다. 인드라의 진주라...그게 과연 뭘까? 내가 좋아하는 부처님은 연기(緣起)를 설명하기 위하여, 화엄경에 인드라망이라는 것을 묘사해 놓으셨다.

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