Archive for the ‘수학과 미술’ Category

원근법과 사영기하학(3):실사영평면

Saturday, November 6th, 2010

아래의 그림은 유클리드 평면을 나타낸다. 중학교에서 배우는 (삼각형의 내각의 합이 180도가 되는) 기하학의 무대이다.

checkerboard.jpg

아래는 위의 유클리드 평면을 원근법을 따라 그린 것이다.

Checkerboard.gif

' 지평선'은 실제로는 유클리드 평면에 놓여있지 않지만, 원근법을 따라 그려진 그림은 지평선을 유클리드 평면과 함께 드러내 준다. 그렇다면 이를 길잡이로 삼아 유클리드 평면과 '지평선'이 하나로 결합되어 있는 새로운 공간을 만들어 낼 수는 없을까? 그림 속에서 유클리드 평면의 평행선은 지평선 위의 한 소실점에서 만난다. 이 원근법의 원칙을 유클리드 평면과 '지평선'을 하나로 붙이는데 사용해보자.

'지평선(horizon)'의 수학에서의 이름은 '무한원선(line at infinity)' 이고, 지평선에 놓인 점들인 '소실점(vanishing point)'은 '무한원점(points at infinity)'으로 불린다. 이제 "유클리드 평면+무한원선"으로 이루어진 새로운 공간(즉, 유클리드 평면의 모든 점들과 모든 무한원점들로 이루어진 공간)을 생각하자. 유클리드 평면을 포함하는 이 공간에서 유클리드 평면에서의 평행선은 '무한원선'의 한 점(예전에 소실점이라 불렸던)에서 만나며, 서로 다른 평행선다발은 서로 다른 점에서 만나는 것으로 선언된다. 유클리드 평면에서의 서로 다른 평행선다발은 무한원선 위의 서로 다른 무한원점에 대응되며, 평행선다발은 이 대응되는 무한원점에서 만난다. 역으로 각각의 무한원점은 이 점을 지나는 유클리드 평면의 평행선다발 하나를 결정한다. 다시 말해, 지난글 "원근법과 사영기하학(1):평행선이 만나는 곳"에서 관찰했던 원근법의 원칙을 다듬어 하나의 수학적인 약속으로 받아들인다는 것이다.

그리하여 탄생한 공간을 '실사영평면(real projective plane)'이라 부른다. 정리를 하자면, 실사영평면에 있는 직선의 집합과 점들의 집합은 다음과 같다 :

  • 직선들의 집합 = 유클리드 평면의 직선 + 무한원선
  • 점들의 집합 = 유클리드 평면의 점 + 무한원점들 (=무한원선에 놓인 점들의 집합).

이제 이렇게 만들어진 실사영평면에서는 다음과 같은 사실이 성립한다 : "임의의 두 점을 지나는 유일한 직선이 존재한다". 이는 다음의 세 가지 경우로 나누어 증명할 수 있다 :

  1. 두 점이 모두 유클리드 평면에 놓인 경우,
  2. 두 점이 모두 무한원선에 놓인 경우,
  3. 한 점은 유클리드 평면에 놓여 있고 한 점은 무한원선에 놓인 경우.

이 중 세번째 경우만 잠깐 살펴보자. 주어진 유클리드 평면의 한 점을 P, 무한원선위의 한 점을 Q라 하면, 점Q를 지나는 유클리드 평면의 평행선다발 하나가 결정된다. 유클리드 평면이 만족시키는 평행선 공리에 의하여, P를 지나는 이 평행선다발의 원소가 유일하게 존재한다. 따라서 점 P,Q를 지나는 유일한 직선이 존재한다

그리고 이 실사영평면에서는 다음과 같은 '놀라운' 사실이 성립하게 된다 : "임의의 두 직선은 한 점에서 만난다". 이 역시 다음과 같은 세 경우로 나누어 생각해 볼 수 있다 :

  1. 두 직선이 모두 유클리드 평면에 놓여 있으며, 서로 평행하지 않은 경우,
  2. 두 직선이 모두 유클리드 평면에 놓여 있으며, 서로 평행한 경우,
  3. 무한원선과 유클리드 평면에 놓인 한 직선의 경우.

원근법이 만들어낸 소실점의 개념과 지평선의 성질을 가지고 유클리드 평면과 '무한원선'이 하나로 결합된 새로운 공간, 실사영평면을 구성하였다. 실사영평면에서는 어떤 두 직선들은 한 점에서 만나고, 어떤 두 직선(즉 평행한 직선)들은 만나지 않는 유클리드 평면의 성질은 더 이상 존재하지 않으며, 평행선의 개념도 사라지게 된다. 그리스의 수학자들은 '평행선은 만나지 않는다'고 선언하여 유클리드 기하학이라는 인류의 위대한 지적유산을 탄생시켰고, 르네상스의 예술가들은 '평행선이 만나는 곳'을 그려 새로운 시대를 열고 풍요로운 문화유산을 남겼다. 평행선이 만나지 않는 곳과 평행선이 만나는 곳, 과연 무엇이 이 세상에 대한 올바른 그림이었을까?

원근법이 낳은 모든 두 직선이 한 점에서 만나는 공간 - 실사영평면, 이 곳은 도대체 어떻게 생겼으며 이 곳에서의 기하학에 대해 우리는 무슨 이야기들을 할 수 있을까?

관련링크
영문위키 real projective plane

지난 글
원근법과 사영기하학(1):평행선이 만나는 곳
원근법과 사영기하학(2):르네상스의 원근법

원근법과 사영기하학(2):르네상스의 원근법

Friday, October 29th, 2010

1510년 경 제작된 것으로 전해지는 라파엘로의 '아테네 학당'.

File:Escola de atenas - vaticano.jpg

손이 하늘을 향해 있는 플라톤과 땅을 향해 있는 아리스토텔레스 사이에 정확하게 놓여있는 소실점은, 평행선다발이 하나의 점에서 만난다는 원근법의 원칙을 적용하여 낼 수 있는 극적인 효과를 잘 보여준다.

school_athens_perspective.jpg

1425년경 이탈리아 피렌체의 건축가인 브루넬레스키는 원근법을 발견한다. 아마도 콰트로첸토라 불리는 15세기 이탈리아의 르네상스에서 가장 중요한 순간의 하나라 할 수 있을 것이다. 그의 영향을 받은 마사치오가 1427년경 원근법이 적용된 최초의 회화작품을 남기고, 1435년 알베르티가 원근법을 설명하는 책을 출판하는 등의 일련의 과정을 통해 원근법은 르네상스 예술의 핵심에 자리잡게 된다.

아래에서는 대상을 바라보는 '하나의 관점'과 그에 따른 '수학적인 측정'을 핵심으로 하는 원근법의 성격을 뚜렷하게 보여주는 두 작품, 마사치오의 '성 삼위일체'와 을 피에로 델라 프란체스카의 '예수 책형'을 살펴본다.

1427년경 제작된 마사치오의 '성 삼위일체 Holy Trinity'는 원근법이 적용된 최초의 회화작품으로 알려져 있다. 학부생시절 수강한 '서양미술사' 수업 시간에 처음으로 그 이름을 들었던 기억이 난다. (물론 가르친 사람은 시간강사..)

그림 속에 나타난 평행선다발이 한 점에서 만나는 소실점의 위치를 어렵지 않게 찾을 수 있다.

HolyTrinity_VP.jpg

원근법을 따르는 그림 속에서 지평선의 위치는 화가의 눈높이가 된다. 아래에 링크한 논문 [CKZ2002]에서는 마사치오의 이 작품을 3차원에서 재구성한 그림들을 보여주는데, 다음 그림은 화가의 눈높이와 화면공간 그리고 대상의 위치를 확인할 수 있어, 원근법으로 그림을 그리는 것이란 어떤 것인가를 이해하는데 도움을 준다.

project73_fig1.jpg

물론 이런 재구성이 가능한 것은 바로 원근법의 수학적 성격에서 기원한다. 아래는 다른 각도에서 바라볼 때 얻어지는 그림들이다.

Holy_Trinity_(Masaccio)_3D_reconstruction.JPG

또 다른 작품을 하나 살펴보자. 르네상스 초기의 예술가 피에로 델라 프란체스카는 동시대의 사람들에게는 수학자로도 알려져 있었다 하는데, 그의 그다지 크지 않은 그림(크기는 58.4 cm × 81.5 cm) 인 '예수 책형(Flagellation of Christ)'은 위의 그림보다 좀더 후인 1455–1460년 경에 제작된 것으로 원근법의 수학적 엄밀성을 매우 뚜렷하게 보여준다.

File:Piero - The Flagellation.jpg

논문 [WC1953] 은 이 그림의 평면도와 입면도를 재구성한 다음과 같은 그림을 싣고 있다.

_Flagellation__reconstruction.JPG

그리고 위에서 이미 언급한 [CKZ2002]에서는 이 그림의 3차원 재구성을 시도한다.

_Flagellation__3D_reconstruction.jpg

'수량화 혁명'이라는 제목으로 번역된 크로스비의 'The Measure of Reality : Quantification and Western Society, 1250-1600' 는 회화에서의 이러한 새로운 경향에 대하여 한 챕터를 할애하여 설명을 한다. 수학적인 성격을 지닌 예술과 기법의 등장으로부터 수학은 과연 어떤 자극과 도전을 받을 수 있었을까? 다음 글에서는 이 문제에 대하여 생각해 본다.

언급된 문헌들

지난 글
원근법과 사영기하학(1):평행선이 만나는 곳

원근법과 사영기하학(1):평행선이 만나는 곳

Saturday, October 23rd, 2010

우리는 학창시절의 미술 시간에 소실점이라는 단어를 배우게 된다. 미술 시험 때문에 소실점을 어떻게 찾아야 하는지 알긴 알아야 했지만, 사실 나는 당시에 그 정확한 개념을 제대로 이해하고 받아들이지는 못했던 것 같다. 최근에 와서야 나는 그  '소실점'이라는 것이, 사영기하학에 등장하는 '무한원점'(point at infinity)과 같은 개념이라는 깨닫고, 비로소 소실점이 무엇인지 이해하게 되었다. 이 이야기는 바로 그 '소실점'으로부터 시작하는 수학이야기이다.

(그림출처) 위의 사진 속에서 평행한 두 철로는 만나게 된다. 이 평행한 두 철로가 만나는 곳, 그곳이 바로 소실점이다. 길가에 철로와 나란히(즉 평행하게) 서있는 풀들도 두 철로와 같은 점에서 만난다. 이들이 모두 만나는 아득한 곳(소실점)은 하늘과 땅이 닿는 곳에 놓여 있다.  하늘과 땅이 닿는 곳  - 우리는 그것을 지평선이라 부른다.

(그림출처) 이 사진 속에는 하나의 철로 옆에 또 하나의 철로가 나란히 놓여 있다. 서로서로 평행한 철로는 다시 한번 모두 한 점에서 만난다. 평행한 네 직선들이 모두 하나의 소실점에서 만나게 되는 것이다. 이렇게 네 철로와 같이 서로서로 평행한 직선들의 모임을 평행선다발이라 부른다. 사진 속에서,  그림 속에서,  평행선다발들은 모두 한 점에서 만난다.

(그림출처) 이 사진에서는 하늘과 땅이 아니라 하늘과 바다가 만난다. 이 곳을 우리는 수평선이라 부른다. 사진은 이탈리아 토스카나 주의 리보르노에 있는 마스카니 테라스(Terrazza Mascagni) 이다. 격자는 무엇보다도 평행선다발을 관찰하기에 좋은 도구이기에 가져와 보았다. 사진 속에 세 개의 평행선다발을 골라 번호를 붙여보았다. 타일속에서 찾을 수 있는 평행한 직선들을 계속 이어 보면, 1번 평행선다발에 있는 평행한 직선들은 모두 하나의 소실점에서 만나는 것을 확인할 수 있다. 2번, 3번도 마찬가지로 각각 하나의 소실점에서 만난다. 그리고 1번, 2번, 3번 평행선다발에 의해 생기는 세 소실점은 모두 수평선에 놓여 있음을 확인할 수 있다.

위의 여러 사진들을 통하여 두 가지의 핵심적인 사실을 확인하였다. 평행선다발이 하나의 소실점을 만든다는 것이고, 소실점들은 지평선 또는 수평선(영어로는 둘다 horizon)에 놓여 있다는 것이다. 원근법과 사영기하학을 잇는 이야기에서 이보다 더 중요한 것은 없다.

프리즈 패턴과 군론(4)

Tuesday, December 23rd, 2008

일찍 마무리했어야 하는데, 한국에 오느라 좀 늦어졌네요. 해가 바뀌기 전에 요 시리즈는 오늘로 마무리를 짓습니다. 편의를 위해 지난글의 링크를 걸어둡니다.

프리즈 패턴과 군론
프리즈 패턴과 군론(2)
프리즈 패턴과 군론(3)

마지막 글에서는 숙제를 하나 내면서 마무리했는데요.

'Joyh의 고품격음악블로그'에서 트랙백으로 답안을 보내주었습니다. joyh님 감솨~

정답은 가-2, 나-5, 다-7, 라-6, 마-4 입니다.

frieze.JPG

프리즈 패턴과 군론(3)

Monday, December 8th, 2008

그럼 오늘은 이제 지난 시간에 말씀드린 테크닉을 사용해서 숙제로 내준 프리즈 패턴 짝짓기 문제를 해결하도록 하겠습니다.

거울이 있으면 빨간색으로 선을 긋고, 회전의 중심점은 파란색으로 점을 찍겠습니다. glide반사가 있는 경우나, 아무것도 없는 경우는 쉽게 알수 있으므로, 아무 표시도 하지 않도록 하겠습니다.

fffz-a.GIF

프리즈a

fffz-b.GIF

프리즈b

fffz-c.GIF

프리즈c

fffz-d.GIF

프리즈d

프리즈e

fffz-f.GIF

프리즈f

프리즈g

발바닥1

발바닥 2

fz3.GIF

발바닥3

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발바닥4

fz5.GIF

발바닥 5

fz6.GIF

발바닥6

fz7.GIF

발바닥7

이렇게 거울의 위치와 회전 중심을 표시하고 나면, 프리즈패턴의 짝짓기가 쉽게 해결됩니다.

그러니까 정답은

a - 5, b - 6, c - 7, d - 3, e - 2, (glide 반사), f - 4, g - 1 (단순한 평행이동)

참 쉽죠?

아무리 패턴이 복잡해보여도, 당황하지 말고 눈을 크게 뜨고 거울과 회전중심을 찾아내면 됩니다. 아무것도 발견되지 않으면 glide반사가 있는가 없는가로 마무리하면 되겠습니다.

그럼 이제 실전 프리즈 분석 숙제를 내도록 하겠습니다. 숙제를 꼭 제출하고 싶으신 분은 위에서 한 것처럼 그림도구를 사용하여 파란색, 빨간색을 표시한 그림과 발바닥 짝짓기 결과를 가지고, 트랙백을 보내시면 되겠습니다.

ex1.JPG

ex2.JPG

ex3.JPG

ex4.JPG

ex5.JPG