Archive for the ‘수학과 사회’ Category

그레고리안 달력과 수학

Thursday, February 5th, 2009

오늘 책에서 본 달력과 관련된 내용을 짤막하게 소개하려 한다.

천문학적인 관측을 통하면, 일년은 365일 5시간 48분 55초라고 한다. 이런 조건을 가지고 달력제작을 어찌하면 좋을까의 문제를 생각하는 것이다.

분수로 환산을 하면 다음과 같이 된다.

수학에서 연분수라는 개념을 사용하면, 저렇게 분모가 큰 분수의 근사값으로 분모가 작은 녀석들을 찾아낼 수가 있게 된다.

의 경우는, , , , , ... 로 근사를 해 나갈 수 있다.

1년은 대략 365일 + 4분의 1일 정도라는 것이다.

그래서 4년에 한번씩 하루를 더 넣어줘야 달력과 실제 해의 움직임이 크게 차이가 안나게 되는 것이다. 이것이 4로 나눠지는 해에, 2월이 29일인 윤년이 된 이유다.

그러나 이 계산을 보자면, 33년정도가 지나는 동안에는 8일정도가 더 붙게 된다는 것인데, 그러니까 4년에 1일 넣는 것만으로는, 33년 정도가 지나면 하루라는 큰(?) 오차가 생기게 된다.

33년이 365*8 더하기 8일 정도가 되므로, 100 = 33 * 3 + 1 , 400 = 33 * 3 * 4 + 4 라는 식을 활용한다면, 400년에는 8 * 3* 4 + 1 =97 일 정도가 더 필요해지는 것이다.

이 오차를 보정하기 위해서, 100년마다 윤년을 한번씩 건너뛰다가 400의 배수가 되는 해는 윤년으로 한다. 그렇게 하면 400년간 윤년을 97번 갖게 되는 것이다.

1700년, 1800년, 1900년 은 4로 나누어짐에도 2월이 28일까지 있고, 2000년에는 2월이 29일까지 있었다.

우리가 사용하는 그레고리안 달력이 바로 이 규칙을 적용한 시스템이다. 1582년부터 사용이 시작되었다고 한다.

이를 실제값과 비교를 하자면, 대략 만년에 이틀 정도 오차를 만든다고 한다.

이집트인들은 일년이 365일 정도라는 것을 알았고, 씨저 때부터 4년에 한번씩 윤년을 집어넣는 율리우스 달력을 사용하다가, 교황 그레고리가 수백년간 쌓인 오차를 보정하기 위해 16세기에 행한 개혁이라 한다.

그레고리안 달력에 대해서 더 알고 싶으면, http://en.wikipedia.org/wiki/Gregorian_calendar 를 클릭.

암튼 우리가 살면서 옛사람들의 빚을 지고 있는게 참 많다. 이런걸 그 옛날에 다 어떻게 알았을꼬...  365를 알아내기 위해, 얼마나 걸렸을 것인고 ㄷㄷㄷ

미적분과 인문계(3) : 타원 - 자연, 예술, 인간

Tuesday, September 16th, 2008

미적분을 인문계 학생들에게 가르쳐야 하는가 마는가의 질문에 답하기 앞서, 나는 우선 아이들을 일찍부터 자연계, 인문계, 예체능계로 확실하게 분류해서 도장찍은 다음 입시 체제로 들여 보내는 것 자체부터 문제 의식을 가지고 있다는 것을 살짝 언급해 둔다. 말하자면, 질문 자체부터 곱게 받아들여줄 생각이 없다는 뜻.

오늘은 학교에서의 수학교육을 과연 어느 위치에 둘 것인가에 대한 대답 대신, (미적분은 아니지만) 타원 이야기를 한번 해볼까 한다. 내가 알기로는 타원은 자연계 학생들만 배우는 것으로 안다.

사실 타원은 그냥 대강 납작해진 원모양들을 지칭하는 것이 아니라, 명확한 수학적 정의를 가지고 있다. 원이 한 점에서 거리가 일정한 점들의 모임이라면, 타원은 두 초점에서의 거리의 합이 일정한 점들의 모임이다.

정의에 따라서 타원 그리기 50초 동영상.

그러니까 근대초 천문학의 혁명기에 케플러와 뉴턴의 활약으로, 지구가 태양 주위를 타원궤도를 따라 돌고 있다고는 사실이 밝혀졌다. 그리고 이것은 지구가 태양 주위를 돌고 있는 것이라면 그것은 가장 완벽한 도형인 원의 궤도를 따라 돌고 있을 것이라는 근거 없는 가설을 역사 속으로 사라지게 했다. 타원을 제대로 모른다면, 이 역사적 사건을 읽어가며 '타원'이라는 녀석의 역할에 얼마나 주목할 수 있을까. 인문계 학생들은 타원의 정의조차 배운바가 없으니, '지구는 태양 주위를 타원 궤도로 돌고 있다는 것을 밝혀냈다'고 말할 때, 도대체 무슨 생각을 하고 있을까.

서양의 르네상스 시기는 풍요로운 새로운 예술을 낳았다. 그리고 그 중심에는 원근법이 있다. 우리의 눈은 기하학적인 법칙을 따르고 있으며, 우리 주변의 모든 원은 정면에서 바라보지 않는한 타원으로 보이게 된다.

ellipse1.JPG

ellipse2.JPG

그리고 그 기하학의 법칙을 거스르게 되면, 그림 속 원기둥은 더이상 원기둥으로 보이지 않는다.

ellipse3.JPG

우주의 움직임에서부터, 눈이 따르고 있는 기하학과 그림 그리는 법칙까지... 그리고 이 모든 것들을 이해하기 위한 가장 훌륭한 열쇠, 타원의 방정식.

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

이 얼마나 스케일이 크며, 또 실용적일 수 있는 지식인가! 서로 다른 것들을 하나의 눈으로 보게 해 주는, 이 놀라움! 2500년전, 피타고라스가 '만물은 수'라고 했을때, 그것은 거짓말이 아니었다.

우리는 아이들에게 학교에서 이런 가르침을 전해줄 수 없는 것일까? 나는 그렇게 하고 싶다.

미적분과 인문계(2) : 배움이 고통인 아이들

Monday, September 15th, 2008

이 글은 미적분과 인문계(1)에서 시작된 시리즈임.

인문계도 수능에서 미적분을 본다는 사실에, 일부 학생들은 이렇게 반응했다.

중3 학생은 굳이 미적분을 해야 하느냐며 볼멘소리를 하고 있다. 고1 학생은 ‘재수하면 끝’이라는 위기감을 느끼고 있다.

이런 말을 하고 있는 학생들은 사실 미적분이 뭔지도 모른다는 것에 10원을 걸겠지만, 아무튼 여기서 중요한 것은 수학 교육이 어린 학생들에게 어떻게 받아들여지고 있는가 하는 것을 읽어내는 것이다. 아이들에게 배움은 고통인 것이다!

어디서부터 이 문제를 풀어가야 할지, 막막하기 짝이 없다. 그 갈등의 한복판에는 물론 대학 입시가 자리잡고 있다. 그리고 이 치열한 입시 경쟁에서의 승리는, 그 다음 관문인 정규직 획득, 그 다음 좋은 배우자 얻기 등등으로 이어지는 '대한민국'이라는 게임에서 반드시 획득해야 하는 필수 아이템으로 여겨지기 때문에, 그 게임의 성격과 본질을 바꿔버리지 않는한, 쉽게 해결될 수 있는 문제가 아니다. (그러니까 근본적으로 문제를 해결하고 싶으면, (정치제도개혁+시민주권운동) -> 지역감정주의해소->조중동 및 딴나라당박멸 -> 정치개혁 -> 포괄적 사회개혁 -> ... 의 시퀀스를 따르시기 바랍니다.)

그럼에도 불구하고, 우리는 일단 오늘을 살아야 하므로, 개개인의 학생들에게는 임시적인 해결책으로나마 이런 말을 해줘야 하지 않을까 싶다.

피할 수 없으면 즐겨라

공부를 잘 하기 위해, 괴롭게 무언가를 배울 것이 아니라, 그 원인과 결과를 바꾸어, 배움을 즐길 수 있게 되면, 그 결과로 공부를 잘 하게 되는 것이다. 바른 지식이 삶을 더 풍요롭게 하고, 삶의 질을 증진시킬 수 있다는 것을 학생들에게 말해 주어야 한다.

그는 수학책 ‘계몽산(啓蒙算)’의 문제를 풀었다. 당시 최고의 학자였던 정인지는 세종이 문제를 풀다 막힐 때를 대비하여, 세종의 수학 공부시간이면 늘 옆에 앉아 대기하고 있었다. 왕이 왜 고생스럽게 <수학의 정석>을 끼고 앉아 머리를 썩이는 것인가. 그는 이렇게 말한다. “산수는 임금에게는 필요가 없는 것으로 보이지만 성인께서 제정한 것이기에 나는 알고 싶다” (세종실록 12년 10월 23일). 제왕의 수학 공부라! 국가 재정을 파악하기 위한 방편으로 이해해주고 싶지만, 사실 그의 수학 공부는 마르지 않는 지식욕 때문이었을 것이다.

-’책벌레들 조선을 만들다‘ 중에서-

성인께서 제정한 것이기에 나는 알고 싶다!

그런데 정말로 바른 지식이 삶을 더 풍요롭게 하고, 삶의 질을 증진시킬 수 있는 것일까?

미적분과 인문계(1)

Sunday, September 14th, 2008

2012년도 수능부터 인문계 학생도 미적분이 포함된 시험을 본다는 기사를 읽었다.

“재수하면 끝장” 인문계 高1교실 발칵
라는 기사에는, 이에 대해 경악하고 있는 어린 학생들의 목소리가 많이 담겨 있다.

중3 학생은 굳이 미적분을 해야 하느냐며 볼멘소리를 하고 있다. 고1 학생은 ‘재수하면 끝’이라는 위기감을 느끼고 있다.

오산에 사는 최모(중3) 군은 “안그래도 수학을 못하는데 이제는 큰일났다”며 “이제껏 미적분 안하고 다들 대학갔는데 왜 하필 우리부터 미적분이 부활되느냐”고 볼멘소리를 했다. 안양에 사는 이모(중3) 양도 “미국에서는 고등학교까지 미적분을 배우지 않고 대학에 가서야 배운다고 들었다”며 “미국도 미적분 안 하고 잘만 사는데 우리는 미적분을 고등학교에서 배워야 하나? 이렇게 하면 학원 열풍이 더 거세질 것”이라고 비판했다. 그러나 이양의 어머니 조씨(43)는 “어차피 수학학원에 보내는 것은 똑같다”며 “미적분을 배우게 되든 말든 별 상관없다”고 말했다.

고1 학생은 ‘재수하게 되면 어쩌나’고 걱정하고 있다. 인천에 사는 구모(고1.인문계 지망) 군은 “당장 미적분을 학교에서 배우지 않아도 되고 시험 보지 않아도 된다는 점은 안심”이라면서도 “하지만 재수라도 하게 되면 2년간 미적분을 배운 애들과 경쟁해야 한다는 게 걸린다”고 말했다. 구군과 같은 반인 서모 양도 “92년생 학생 사이에서는 ‘재수하면 끝장’이라는 위기감이 돌고 있다”며 “우리가 대학에 들어가는 2011학년도에는 눈치경쟁과 하향지원이 치열해질 것 같다”는 분석을 내놨다.

부산일보의 한 기사는, 왜 인문계 수능에 미적분이 포함되었는지에 대해 약간 설명을 해 주고 있다.

현행 7차 교육과정이 적용된 2005학년도 수능부터 인문계 학생들이 주로 응시하는 수리 나형에서 미적분이 제외됨에 따라 수리 나형의 난이도가 크게 낮아졌다. 반면 자연계 학생들이 주로 응시하는 수리 가형은 상대적으로 출제범위도 넓고 난이도도 높아졌다.

이에 따라 자연계 학생들은 학습 부담이 많고 어려운 수리 가형을 기피했고 매년 수능시험에서 수리 나형에 대한 '쏠림 현상'이 두드러졌다. 특히 상당수 대학들이 인문·자연계간 교차 지원을 허용하고 있어 수리 나형을 선택하는 수험생이 늘어나고 있는 실정이다. 실제로 지난해 수능에서 수리 가형을 선택한 수험생은 24.2%에 불과했고, 수리 나형을 택한 수험생은 75.8%에 달했다.

이 때문에 대학 이공계에 진학한 학생들은 미적분을 잘 몰라 대학 강의에 바로 적응하지 못하고, 대학은 신입생들에게 기본적인 미적분을 가르치고 있다. 부산대 윤웅찬 화학과 학과장은 "물리나 화학과 등은 미적분을 기본적으로 알아야 하는데 이를 모르는 신입생들이 태반"이라며 "대학에서 미적분을 가르치는 비효율적인 교육이 이뤄지고 있다"고 말했다.

이에 따라 교과부가 추진하는 방향대로 수리 나형 출제범위에 미적분과 통계가 추가된다면 수리 나형에 대한 쏠림 현상이 줄어들고 대학 교육도 정상화가 이뤄질 전망이다.

동아대 이권순 전기공학과 교수는 "학생들의 수학능력을 높일 수 있는 수리 나형 출제범위 확대 추진을 환영한다"며 "이공계 강의에 적응하지 못했던 학생들이 줄어들어 대학 교육의 정상화가 기대된다"고 밝혔다. 부산종로학원 김윤수 평가실장도 "지금까지는 자연계열 학생들이 상대적으로 문제가 어려운 수리 가형보다는 수리 나형을 선택해 점수를 올릴 수 있었는데 앞으로 이 같은 장점이 없어진다면 굳이 수리 나형을 선택할 필요가 없다"고 밝혔다.

그러나 일부에서는 수리영역 출제범위가 확대될 경우 사교육 증가에 대한 우려도 제기되고 있다. 중2 자녀를 둔 김미숙(42)씨는 "아이가 인문계로 진로를 선택할 예정인데 수리 나형에 미적분이 포함된다니 지금부터라도 수학전문학원에 아이를 보내야 하는 건 아닌지 걱정이 앞선다"고 밝혔다. 또 김 씨는 "인문계 고교 학생들은 대학에 진학해서 미적분을 활용할 기회가 거의 없는데 굳이 미적분을 가르칠 필요가 있는지 의문"이라며 "각 대학들이 인문·자연계간 교차지원을 허용하지 않는다면 현 수능 시스템으로도 수학교육은 충분하다"고 밝혔다.

참교육학부모회 채승영 부산지부장도 "현재도 고교에서 배우는 수리영역이 너무 어려워 학생들이 학원에서 사교육을 받는 경우가 많다"며 "수리 나형의 출제범위를 확대한다면 이에 따른 사교육이 더 늘어날 것"이라고 밝혔다.

제가 황희 정승 스타일인지, 다들 맞는 말을 하고 있는 것 같아서 무진장 헷갈립니다.

누가 옳은 말을 하고 있는지, 좋은 생각있으면 알려주세요.

노인자살과 국가통계

Saturday, June 7th, 2008

한국에 도착했던 첫날 TV에서 본 광고중의 하나가 노인자살의 심각성에 대한 '우리를 보살폈던 그 손 이제 우리가 잡아드려야 할 때입니다'라는 제목의 보건복지부 공익광고였다. (이메가 정부의 공익광고를 이곳에서 상영할 줄이야...)

2007년 통계청 자료로 노인자살 3203명이라고 마지막에 나오는데, 이렇게 한해 노인자살 절대적인 숫자만으로는 문제의 심각성을 알기가 어렵다. 짧은 시간에 하는 TV광고에다가 통계자료를 줄줄 읊어대는 것도 쉽지 않은 일일테지만, 중요한 수치는 절대적인 숫자보다도 인구몇명당 얼마가 자살했는가 하는 자살률이고, 우리나라의 예전 통계와 비교한다거나 다른 국가와 비교하여 문제의 심각성을 제기하는 것이 좀더 효과적이었을 거란 생각이 든다.
경향신문의 기사에 나온 자료를 보니,

질병·생활고… ‘노인 자살’ 급증

위키의 자료를 보니, 현재 OECD국가 중에서 자살률이 제일 높은 나라는 한국이고 그 다음이 일본으로 나와 있다. 위의 도표는 비록 2002년 자료이기는 하지만 다른 연령대보다 노인자살률이 한국이 높은 것으로 나오고 있다.

한국의 높아지는 노인자살률과, 한국 사회의 빠른 고령화 진행을 고려할 때, 이러한 추세가 계속된다면 한국의 자살률은 한동안 부동의 세계 1위가 아닐까 싶다.

그러면 이제 해야할 일은, 노인 자살률이 왜 이렇게 높은가 하는 원인을 찾아볼 수 있는 통계지표들을 찾아보는 것일텐데, 이 점에 대해서는 정부차원에서 꾸준히 조사해 온 자료는 없는 듯 하고, 자살률이 높아지니 그래도 급하게나마 조사를 하긴 한 모양이다. (자살 시도 노인 3명중 1명 ‘질병 때문’)

뭐 솔직히 이 자료를 얼마나 신뢰할 수 있는지는 모르겠다만, 그래도 이런 거라도 해 나가니 다행이다.(조사시기를 보니 유시민장관 시절인가?) 이러한 자료를 기초로 해야만 문제를 해결할 방향을 찾아갈 수 있을 것이다. 그리고 더 심각한 꼴을 당하기 전에 이 문제와 관련된 국가통계 기능을 훨씬 더 강화할 필요가 있다.

.......

나는 한 국가의 기초가 얼마나 튼튼한지를 판단하는 기준으로, 각종 기록물들이 얼마나 잘 관리되고, 얼마나 체계적인 통계 인프라를 가지고 있으며, 이러한 것들에 사람들이 얼마나 쉽게 접근할 수 있는지의 여부를 들고 싶다. 참여정부에서는 국가의 기록 관리 능력이 많이 향상되었는데, 참여정부 시즌 2에서는 통계 기능을 훨씬 더 강화해야 할 것이다. 과학의 마음이 필요하다. 아무튼 이러한 기준에서는 아마도 미국을 따라잡기가 쉽지 않을 것이라 생각하는데, 한국에서 친미라고 떠벌리는 인간들은 좀 병진들이 많아서...

통계학은 영어로 statistics라고 하는데, 이 단어의 기원을 사전에서 찾아보면,

[From German Statistik, political science, from New Latin statisticus, of state affairs, from Italian statista, person skilled in statecraft, from stato, state, from Old Italian, from Latin status, position, form of government; see st- in Indo-European roots.]

라 하여, 정치라던가 국가라던가 하는 뜻과 긴밀히 연결되어 있고, 이는 state라는 단어의 존재에서도 엿볼 수 있다.