Archive for the ‘수학과 문명’ Category

모리스 클라인 - '수학, 문명을 지배하다'

Monday, January 21st, 2008

책이 좀 두꺼운 점이 약간 망설여지지만, 그 점만 뺀다면, 모리스 클라인의 '수학, 문명을 지배하다'(Morris Kline, Mathematics in Western Culture) 은 아주 좋은 수학 교양서라고 할 수 있다.

수학이 어떻게 서구문명에 영향을 미쳐왔는가를 잘 얘기해 주고 있다. 수학 자체가 옛날부터 어떻게 성장해 왔는가를 다루는 수학사책이 아니라, 수학이 서양의 문화와 문명에 어떤 의미를 갖고 어떠한 영향을 미쳐왔는가를 말하고 있는 책이다. 물론 중심테마는 이 블로그에서 끊임없이 외치고 있듯이, 수학이 킹왕짱이라는 것.

현장에서 수학을 가르치는 교사들이 읽으면 작금의 중고딩들이 경험하고 있을 깝깝한 수학시간을 개선하는데 도움이 될 것 같다. 물론 지금까지 수학교육을 통해 '짱나는 수학, 도대체 수학 왜 배워야 하나'라는 질문에 답이 없거나 혹은 부정적인 답을 가지고 있는 사람들이라면, 이 책을 읽고, 수학이 이런것이었구나 하는 새로운 깨달음을 얻을 필요가 있다.

메르카토르 지도에 얽힌 수학의 역사

Sunday, January 13th, 2008

메르카토르 지도에 대한 공부를 조금 해 보니, 이 지도에 얽힌 수학의 역사 이야기가 너무 재밌어서 사람들에게 한토막 들려주고 싶어졌다. 메르카토르가 1569년에 그의 지도를 만들었을 때, 인류에겐 아직 로그표가 없었고, 미적분학이 없었다. 그 지도에 얽힌 수학을 완벽하게 이해하기 위해, 인류가 들인 시간은 무려 백년!

오늘 오후에 한가하게 책을 보며, 잠깐의 계산을 통해, 메르카토르 투영법의 모든 수학을 이해하고, loxodrome이 지도상에서 실제로 직선이 된다는 결론까지 내린후, 나는 알수 없는 거대한 감동에 휘말렸다. 손 위의 아이폰에는 구글맵이 들어있고, 차에 딸린 내비게이터가 길 안내를 해 주는 세상, 하늘을 돌고 있는 위성들이 안내하는 GPS의 시대. 우리가 사는 오늘은, 수많은 사람들의 오랜 시간의 헌신과 노력이 만들어낸 것이었구나!

고딩 수학에 나오는 부정적분 중에서 최고 난이도를 하나 꼽자면 이 정도가 되지 않을까 싶다.

[math]\int{\sec \theta} d\theta= \ln|\sec \theta + \tan \theta|+C [/math]

이 문제가 17세기 중반의 유명한 미해결 문제였다는 사실을 오늘 알게 됐는데, 이거 풀면, 대학 교수직은 물론이고, 세계에 이름나고, 나라에서는 국가 석학 정도의 대우를 받았을런지. 저를 포함하여 수학을 잘못해서 힘이 든 사람들아, 기운을 냅시다. 아무튼 이 적분 문제가 난데없이 여기에 왜 등장했는가? 이 적분에 메르카토르 투영법이 크게 엮여 있기 때문이다.

그렇다면 이제 메르카토르 지도가 어떻게 만들어지는지 조금 이해를 할 필요가 있다. 지도에서 중요한 정보가 위도와 경도라는 것이다.

위도는 위의 지도에서 왼쪽의 그림, 즉 적도에서부터 얼마나 북쪽 혹은 남쪽에 있는지를 재는 숫자이다. 영어로는 latitude라고 한다. 같은 위도상에 있는 지역들은 구면에서 원위에 놓이게 되는데, 이 원을 위선이라고 한다.

경도는 오른쪽 그림인데, 영국의 그리니치를 0으로 기준삼아, 얼마나 동쪽 혹은 서쪽에 있는지를 재는 숫자이다. 보다시피, 영어로는 longitude라고 한다. 같은 경도 상에 있는 지역들 은 북극과 남극을 지나는 대원에 의해 나타나게 되는데, 이 원을 경선이라고 부른다.

지도에서 위선과 경선이 서로 수직인 직선으로 표현된다는 것을 초등학교에 가면 가르쳐준다. 메르카토르 지도 역시, 위선과 경선을 서로 수직이 되는 직선들로 표현한다.

메르카토르 지도를 그리기 위해 일단, 구면에서 일정한 간격으로 그려진 경선들을, 평면에 똑같이 일정한 간격으로 떨어져있는 y축과 평행한 직선들로 옮겨 그린다. 즉, 경선이 나타내는 경도가 [math]\phi[/math]라고 한다면, 평면지도에서는 [math]x=\phi[/math] 인 직선으로 나타낸다는 것이다. 여기까지는 무척 쉽다.

문제는 위도를 나타내는 위선들을 어떻게 지도에 그릴 것인가가 되겠다. 만약에 위도의 간격만큼 일정한 간격으로 지도에 위선들을 x축과 평행한 직선들로 나타내면, 문제가 발생한다.

이 그림에서 보다시피, 두 경선 사이의 간격은, 위도가 높아질수록 좁아져 극지방으로 가면 0에 가까워 진다. 그런데 이미 우리는 지도에 세로로 그어진 경선들을 그려놨다. 구면에서는 위도가 높아질수록 좁아지는 경선 사이의 간격을, 지도에서는 같게 보이도록 그려놓은 셈이다.

메르카토르 지도에서 원하는 것은 각도를 보존하는 것이다. 각도를 보존하는 것은 국소적인 작업인데, 이 각도를 보존하기 위해서는 국소적인 모양을 보존하도록 하면 된다. 위의 그림에서 나타나듯이, 위로 갈수록 좁은 경선 사이의 거리를 지도에서는 같게 보이도록 만들었다. 국소적인 모양을 보존하기 위해서는, 이렇게 가로의 좁은 거리를 더 길게 늘려준만큼, 세로의 길이도 늘려준 비율만큼 더 길게 해주어야 하는 것이다. 그러면 위도에 따라 이 비율이 어떻게 변하는가?

위의 그림이 말하는 바는, 구면에서 [math]\theta+ d\theta[/math]와 [math]\theta[/math] 를 나타내는 위선들의 간격이

[math]\frac{1}{\cos \theta} d\theta= \sec \theta d\theta[/math]

만큼의 간격을 갖도록 해야 한다는 것이다. 즉 위도가 높아질수록, 위선들의 간격을 [math] \sec \theta [/math] 배만큼 더 넓게 해준다는 것을 뜻한다.

이 식은 극지방으로 갈수록, 그 간격이 무한대에 가까워진다는 것을 설명해준다. 이것이 메르카토르 지도에서 그린랜드가 아프리카와 거의 같은 크기로 나타나는 이유이고(실제로는 훨씬 작다), 극지방을 지도에 표현하지 않는 이유이다. 아무튼 이렇게 해주어야만, 국소적으로 지도의 모양이 보존되게 되고, 따라서 구면상의 각도가 지도에서도 보존되게 된다.

메르카토르는 지도를 만들때 어떻게 했는지 기록으로 남겨놓지 않았는데, 정밀한 미적분학의 툴이 없었으니, 아마도 실험적으로 간격을 어느 정도 넓힐 것인가를 수치적으로 계산해서 만들었다고 추측된다. 위의 그림과 식은, 1599년에 에드워드 라이트라는 사람이 메르카토르의 지도를 수학적으로 설명한 것이다. 그러니까 조선에서는 민족의 성웅 이순신장군이 한산섬 달밝은 밤에 수루에 홀로앉아 긴칼 옆에차고 깊은 시름할 때였고, 임진왜란이 끝나 민생이 도탄에 빠졌던 그런 때였다.

그러나 에드워드 라이트의 때만해도 아직 미적분학이 없어서 적분을 몰랐으니, 에드워드 라이트는 위선들의 지도에서의 y축 좌표를, 말하자면 이런 식으로 표현했다. 만약에 위선들을 1도 간격으로 그리고, 구면에서 1도만큼의 거리를 [math]\Delta[/math]라고 한다면,

위도 메르카토르 지도에서의 y좌표
0도 0
1도 (sec 1도) x [math]\Delta[/math]
2도 (sec 1도+sec 2도) x [math]\Delta[/math]
3도 (sec 1도+sec 2도+sec 3도) x [math]\Delta[/math]
4도 (sec 1도+sec 2도+sec 3도+sec 4도) x [math]\Delta[/math]

이렇게 한다는 것이다. 그때만 해도 적분이 없었기 때문에! 그는 그렇게 이러한 계산이 담긴 표를 출판한 것이다.

우리 고딩들은 이 표가 구분구적법에 의한 정적분문제라는 것을 알텐데- 즉 다음과 같은 표라는 것을!

위도 지도에서 y좌표
[math]\theta[/math] [math]\int_{0}^{\theta} {\sec x} dx [/math]

그러면 그 이후의 역사를 간략하게 살펴보자.

1614년 네이피어가 로그를 발견하고, 로그표를 출판한다. 로그표가 있으면, 곱하기를 더하기로 대신할 수 있고, 나누기를 빼기로 대신할 수 있다. 이 생각은 처음에는 매우 바보같아 보이지만, 컴퓨터가 없던 당시, 천문학의 혁명기에, 큰 숫자를 쉽게 다룰 수 있게 해준 위대한 발명이었던 것이다. 큰 수의 제곱근, 세제곱근도 쉽게 구할 수 있고, 제곱, 세제곱도 쉽게 구 할 수 있게 된다.

1620년에는 에드문트 군터라는 자가 삼각함수의 로그가 담긴 표를 출판한다.

1640년대, 헨리 본드라는 사람이 라이트의 위도 테이블이

[math] \ln \tan (\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}) [/math]

의 값과 일치한다는 사실을 발견한다. 도대체 이 두 값이 왜 일치하는 것일까? 이 문제가 위에서 언급했던 당대의 중요 미해결문제가 된 것이다. 당시는 미적분학의 언어가 한참 개발되던 시기였다. 이제 지금까지 한 것을, 미적분학의 언어로 표현하자면,

[math]\int_{0}^{\theta} {\sec x} dx= \ln (\sec \theta+ \tan \theta) = \ln \tan (\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}) [/math]

지도에서 발생한 문제가 시컨트 함수의 적분 문제를 먼저 추측한 것이니, 참 재밌는 일이 아닌가? 그리하여 이 적분문제가 위의 의미로 증명되고 출판된 것이 1660~70년대였으니, 정확히 메르카토르 지도로부터 백년이 걸린 것이다.

여러분은 여기까지 읽고 이해하는데 몇 분 걸리셨습니까? 다소 어렵더라도 인류가 이해하는데에 백년 걸린 것이니, 느긋하게 하셔도 될 것입니다. GPS의 시대를 살더라도, 이런 사실들을 망각하면 안 될 것입니다. 왜냐하면 이것이 우리의 오늘을 있게 한 뿌리이기 때문입니다.

p.s. 쓰는 중 발견한 (An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant)가 많은 짐을 덜어주었음.

케플러와 정다면체

Saturday, December 29th, 2007

이 글은 오래전에 쓴, "플라톤의 구라에 대하여" 의 후속편이다.

독일의 수학자이자 천문학자였던 케플러(1571-1630)는 17세기 천문학의 대발견 시대에 있어, 매우 중요한 인물이다. 코페르니쿠스가 행성들이 태양을 중심으로 움직이고 있다는 당시만 해도 경천동지할 주장을 하고 세상을 뜬 것이 1543년 이므로, 케플러는 그야말로 혁명의 기운이 공기를 타고 떠도는 시대에 태어났다고 할 수 있다. 케플러의 가장 위대한 업적은 바로, 그가 곁에서 조수로 일했던 티코 브라헤의 관측 결과를 바탕으로 행성운동에 대한 케플러의 세가지 법칙을 제시했다는 것이다. 그 첫번째 법칙은 행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도를 돌고 있다는 것이다. 뉴턴이 제시한 만유인력은 거리의 역제곱이라는 사실이 맞는다는 증거를 이 케플러의 법칙이 제시해 준다.

그러나 케플러가 이러한 업적을 남기기 전, 케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다.

먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.

그러나 내가 여기서 흥미롭게 보는 점은 바로 이것,

플라톤은 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았고 (불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체), 케플러는 정다면체들의 배열로 행성운동의 법칙을 설명하려 했다는 점이다.

재밌는 것은 그들은 정다면체를 이용하여 그 시대의 한계 안에서 나름대로 "만물의 이론"을 제시하고 있다는 점이다. 물론 21세를 살고 있는 우리가 보기에는 얼토당토 않지만.

하지만 오늘날의 첨단과학은 어떤 방식으로 "만물의 이론"에 도전하고 있는지 들어본적이 있는가? 이 점이 바로 포인트이다. 놀라운 것은 여전히 플라톤과 케플러의 아이디어가 살아있다!!! 는 것이다. 어떻게? 이야기는 다음 편에 계속된다.

수학문명의 시대

Thursday, December 27th, 2007

얼마전 OECD 에서는 각국의 15세 학생들을 대상으로 읽기, 수학, 과학 분야에 대해 실시한 학업성취도 국제학력평가 결과를 발표했다. 성적표를 받아든 각국의 표정이 교차했다.

기사링크


한국의 경우 수학과 읽기 성적은 훌륭했지만, 과학 순위가 전보다 많이 떨어졌다는 우려의 목소리가 높았다. 한국의 교육열과 사교육 비용에 비해 성적이 저렇게 나오지 않는다면 이상한 일이겠다만은, 내가 관심을 가진 것은 결과보다는 바로 이 사실, 즉 15세 아이들의 수학,과학 실력이 어느새 각국의 관심의 초점이 되는 국력의 지표 혹은 국력의 미래지표가 되었다는 것이었다.

지금으로부터 2500여년전 피타고라스는 음악의 비밀이 수학에 있다는 놀라운 사실을 깨달았다. 한옥타브는 2:1, 도와 솔은 2:3 ... 피타고라스와 그의 추종자들은 종교 비슷한 조직을 형성했다. 그들의 믿음은 이것.

"만물은 수다"

이후 그리스문명의 절정기에, 그의 철학을 계승한 플라톤은 그 이후 오늘까지 이어져내려온 2000년 서양문명의 궤도를 제시한다. 그가 세운 학교의 이름은 아카데미아. 그 학교의 팻말에는 이런 말이 써있었다고 전해진다.

"기하학을 모르는 자는 들어오지 말라"

이들을 본류로 하는 그리스의 고전문명이 자양분이 되어 유럽에 르네상스가 일어나고, 마침내 우리가 살고 있는 현대문명의 한 축을 탄생시킨 혁명가 뉴턴이 등장한다. 영국, 프랑스, 미국의 민주주의 혁명이 우리의 시대에 가지고 있는 의미만큼이나, 뉴턴의 혁명은 우리에게 중요하다. 대학에 갓 들어온 모든 이공계 학생은 미적분학을 배운다. 이것은 전세계 대학의 공통 커리큘럼이다. 데모만 하고 수학공부를 안하는 학생의 지성을 나는 믿어주지 못한다. 우리는 학부 꼬맹이들에게 미적분학의 역사적 의미를 제대로 전하고 있는 것일까.

인터넷 회선을 따라 숫자들이 움직이고 있다. 우리가 하는 경제활동의 가장 핵심에는 서로의 계좌에 있는 숫자의 교환이 자리잡고 있다. 피타고라스가 설파한 수의 비밀이 오늘날만큼 세상에 응용된 시대는 일찍이 없었다.

디지털혁명이 일어나기 훨씬 전인 17세기 유럽의 라이프니츠는 그는 그의 논리학 연구에 이진법의 응용가능성을 생각했다. 친구 선교사가 중국에서 가져다 준 주역책의 64괘를 보고 놀라게 된다. 그것은 의심할바 없는 체계적인 이진법의 언어였다.

우리는 지난 20세기 서양의 과학을 배우느라 힘겹게 달려왔지만, 겉에 보이는 것들만 카피했지, 그 밑바닥을 도도하게 흐르고 있는 수학문명의 합리주의 정신까지 가져오진 못했다. 어른들은 학생들의 수학실력만 보고 판단하고 있지만 학생들의 수학실력보다 더 중요한 국력의 지표는 바로 공적영역에서의 합리성이라는 것이다. 거짓이 진실을 이기는 세상에서 공부잘하던 아이들이 어떻게 커갈것인지 나는 그 점을 우려한다.

허나 그래도 국기에다가 디지털 신호를 새겨넣은 세계 유일의 나라이다. 이점에서는 희망이 보인다. 무엇부터 해야 하는 것일까.

플라톤의 구라에 대하여

Monday, April 23rd, 2007

플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다.

기억이 맞다면, 중학교 1학년 수학에서, 정다면체는 다섯개뿐이라는 것을 배운다. 이것은 고대 그리스가 인류에게 남긴 위대한 수학적 발견인데, 정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.

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