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라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상(2) : 오일러수

Sunday, September 20th, 2009

지난 글 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상 에서는 라이프니츠 급수

1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}

의 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상을 언급하였다.

4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots

3.141392653591793238362643395479500114198179… (위의 급수)

3.141592653589793238462643383279502884197169… (원래 파이값)

이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 오일러수라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다.

\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}

(여기서 참고로, 보통 사인과 코사인 함수의 맥클로린은 학부생 미적분학에서 쉽게 찾아볼 수 있지만, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트와 같은 삼각함수에 대해서는 잘 얘기를 하지 않는다.

B_n베르누이수E_n오일러수

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}

\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}

\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}

이 수학적으로 흥미로운 계수들에 대하여 말할 수 있는 기회를 놓치는 것이라 생각한다.

아니 미적분학을 말하는데 오일러-맥클로린 공식을 얘기하지 않는단 말인가!!)

처음 몇 개의 오일러수는 다음과 같다.

E_0=1,E_2 = −1,E_4 = 5,E_6 = −61,E_8 = 1,385,E_{10} = −50,521,E_{12} = 2,702,765,E_{14} = −199,360,981,E_{16} = 19,391,512,145,E_{18} = −2,404,879,675,441

이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다.

\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots

수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.

4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)

여기서 |R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}

따라서 N=10^{l} 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 l번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.

오차항에 대해서는 2E_{2(M+1)}과 10^{2l} 의 자릿수가 엇비슷해지는 M을 찾았을때 k=M 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.

라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 (2M+1)l 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.

이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.

예)

N=10^2 인 경우, 2E_6가 네자리 수이므로, M=2 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846… (원래 파이값)

3.12159465259101047851… (위의 급수)

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수의 2배인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.

예)

N=10^3 인 경우, 2E_{10}이 여섯자리 수이므로, M=4 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

3.13959265558978323858464061338053947906585258315983

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수의 2배인  2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.

예)

N=10^4 인 경우, E_{12}가 일곱자리 수이므로, M=5 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.

4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

3.1413926535917932383626433954795001141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수의 2배인 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.

이제 이에 대한 좀더 학술적인 안내를 받고 싶다면, 다음 글을 참고하시라.

라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상

Monday, September 14th, 2009
3.141392653591793238362643395479500114198179...
3.141592653589793238462643383279502884197169...

1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}

또는

4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi

임은 라이프니츠 급수라는 이름으로 잘 알려져 있다.

그런데 이게 수렴속도가 많이 느리다는 것도 잘 알려져 있다.

수렴 속도가 어느정도인가 알기 위해서 1부터 5000까지 더해보면 재미있는 현상이 나타난다.

4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots

오천개를 더해도, 소수점 아래 두 자리밖에 구해내지 못하는 이 비효율성!!

사실 오억개를 더해도, 소수점 아래에 여덟자리 정도 맞는다.

그런데 위의 계산을 잘 보면,

3.141392653591793238362643395479500114198179... (위의 급수)

3.141592653589793238462643383279502884197169... (원래 파이값)

소수점 넷째 자리에서는 틀렸다가, 그 다음부터는 또 맞는다.

어떻게 설명해야 할까?

이유는 다음에...

우리는 언제 미적분학을 처음 만났을까

Friday, September 4th, 2009

File:Triangle.GeometryArea.svg

넓이 공식

S=\frac{1}{2}bh


1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}n^2+\cdots

적분

\int x\,dx = \frac{1}{2}x^2+C





pyramid.gif

부피공식

V=\frac{1}{3}Ah

q138.png

1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}=\frac{1}{3}n^3+\cdots

적분

\int x^2\,dx = \frac{1}{3}x^3+C




이 다음에 와야 할 것들은???




더 읽어볼 것들

극한없는 미적분학 - 수열 버전의 미적분학의 기본정리

Sunday, August 23rd, 2009

미적분학의 기본정리(http://ko.wikipedia.org/wiki/미적분학의_기본정리) 는, 두 가지 관계없어보이는 개념, 즉 함수의 그래프의 기울기(부정적분 또는 역도함수)와 그래프 아래의 면적(정적분)을 이어준다.

F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x) 이면 \int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)

이렇게 들으면 굉장히 어렵게 들릴 수가 있다. 그런데 그 밑바닥에 있는 아이디어가 과연 어려운 것일까?

고등학교에서 수열의 개념을 다룰 때, 계차수열과 수열의 합과 같은 개념을 배우게 된다.  계차수열은 연속된 두 항의 차이로 얻어지고, 수열의 합은 말그대로 여러 항들의 합이다.

'미분 ~ 계차수열, 적분 ~ 수열의 합' 의 비유가 매우 잘 작동함을 보일 생각이다. 차분히 읽어본다면 미적분학의 공포에서 벗어날 수 있다고 생각한다.

계차수열

F, f 는 다음 조건을 만족하는 두 수열이다.

\Delta F=f 즉 f(n)=F(n+1)-F(n)

미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, '계차수열이 f 가 되는 수열 F' 라는 것을 \Delta F=f 로 표현하자.

수열의 합

수열 f 에 대하여

\sum_{n=a}^{b-1}f(n)

는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다

여기까지는 어려울 것이 없다. 뺄셈과 덧셈만 나왔다.

이제 이들 개념을 가지고 미적분학의 기본정리에 대응되는 정리를 써보면 이렇다.

적당한 번역어를 찾지 못해 그냥 영어로 두었다.

Calculus of Finite Dfference의 기본정리

두 수열 F, f 가 \Delta F=f를 만족하면,

\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)

가 성립한다.

증명은 정말 간단하다.

증명

F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)

증명을 이해했으면, 이제 가서 미적분학의 기본정리를 다시 공부해 보자.

역함수를 이용한 부정적분의 기술

Sunday, August 16th, 2009

이런건 살다가 처음 봤다.

\int f(x)\,dx = xf(x)-\int xf'(x)\,dx=xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx=xf(x)-G(f(x))

여기서 G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx


문제

\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx

G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C

따라서, 

\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C

이런거 본 적 있는 분?