Archive for the ‘나의 연구’ Category

일본 방문

Monday, March 3rd, 2014

내일은 학회에 참가하기 위해 5박 6일의 일정으로 도쿄에 간다. 다른 곳과 한국을 오가며 비행기를 갈아타느라 지나친 것을 빼면, 일본에 제대로 가 보는 것은 이번이 처음이다. 출발점은 좀  달랐지만, 어쩌다보니 나는 양자군의 표현론이라는 분야에 발을 들여놓게 됐고, 그로 인해 몇몇 일본 수학자들과 인연이 생겨났고, 이런 기회도 갖게 되었다.

호텔방도 예약해주고, 비행기표도 예매해주니 성가신 일도 없이 편하고 좋다. 오전에는 까페에서 커피를 한잔 시켜놓고 내가 얻은 결과에 대한 발표자료를 다듬었는데, 이걸 갖고 한 시간 이야기를 하며 지식을 나누는 것이 초청을 받은 대가로 내가 해야 하는 일이다.

학부생 시절에 나는 애써 여행할 기회를 찾지 않았다. 나중에 수학자가 되면, 그러한 것들은 자연스럽게 나를 찾아올 것이라 생각했으니까. 물론 수학자로서의 인생이 벼랑 끝처럼 느껴지는 지금과 같은 날도 나를 기다리고 있을 것이라고는 생각치 못했지만.

그래도 요 며칠은 무거운 생각을 좀 내려놓고, 비슷한 연구 분야의 동료 수학자들에게 좋은 것들을 좀 많이 배워왔으면 한다. 대학원생 시절과 비교하면 남들이 뭔 얘기를 하는지 알아듣는 빈도가 확실히 늘었다. 이러한 인생의 좋은 때를 스트레스에 짓눌려 날려 보내기엔 좀 아깝지 않은가.

라마누잔의 연분수, 세가지 실타래

Friday, August 28th, 2009

수학과 대학원생이 되면 좋은점 - 라마누잔 이야기(피타고라스의 창, 2008-6-24) 에서 언급한 적이 있지만, 하디의 눈을 사로잡은 공식 중에 아래와 같은 것이 있다.

\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots

\varphi 는 황금비


이 식을 중심으로 엮인 세 개의 실타래가 있다. 


첫번째 실타래는 q-초기하급수의 이론으로 위의 식과 관련있는 것은 

R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(q;q)_n} 이다. 

R(z)=R(zq)+zqR(zq^2) 의 성질을 만족시킨다.


G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} ,  H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} 와 같은 함수는 H(q)=R(q), G(q)=R(1) 로부터 얻어진다.

바로 이 성질로 인하여, 연분수전개가 가능해지는데

\frac{H(q)}{G(q)}=\cfrac{R(q)}{R(1)} = \cfrac{1}{1+q\cfrac{R(q^2)}{R(q)}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+q^2\cfrac{R(q^3)}{R(q^2)}}}=\cdots

이를 반복하여, 다음을 얻는다.

\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}


두번째 실타래는 물리학의 등각장론이다. 

등각장론에서 finite size effect 라고 불리는 것이 끼어드는데, 아래와 같이 위에 등장했던 함수들의 앞에 곱하여지는 이상한 녀석들 q^{-\frac{1}{60}},q^{\frac{11}{60}},q^{\frac{1}{5}}을 설명한다. 


q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}

q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}

q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}


세번째 실타래는 모듈라 성질이다. 

위에서 곱하진 이상한 녀석들에 의하여, 이 함수들은 모듈라(modularity)라 불리는 성질을 갖게 된다. 이곳은 잘 닦여져 있는 세계이다. 

r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}


여기서 q=e^{2\pi i\tau}


만약 \tau=i 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 맨위에 있는 값을 얻을 수 있게 된다. 

r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}



나는 요즘 q-초기하급수와  모듈라(modularity)의 두 세계를 잇고 있는 혹은 그 둘의 어떤 교집합을 만들어 내고 있는, 저 두번째 실타래에 대해 알고 싶다. 

정다면체와의 숨바꼭질

Wednesday, February 11th, 2009

어제는 공부를 하다가 떠오른 바가 있어, 유한 reflection 군의 degree(걍 그런게 있구나 하면 됨...)를 찾아보게 되었다.

표는 Reflection Groups and Coxeter Groups by James E. Humphreys의 59p에서

D4 : 2, 4, 4, 6

F4 : 2, 6, 8, 12

H4 : 2, 12, 20, 30

ㅋㅋㅋ 숨어 있구나.  요 숫자들을 그냥 지나칠수는 없는 일이다.

다면체 그림 V E F V-E+F
정사면체 Tetrahedron 4 6 4 4-6+4=2
정육면체 Hexahedron (cube) 8 12 6 8-12+6=2
정팔면체 Octahedron 6 12 8 6-12+8=2
정십이면체 Dodecahedron 20 30 12 20-30+12=2
정이십면체 Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2


이 녀석들이야, 하도 오랫동안 많이 연구가 되어있는 것이기 때문에, 이미 누군가는 알아보았고, 답까지 내놓았으리라 생각하고 새로울 것이라는 기대는 애초에 없다.

그럼에도 불구하고, 어릴적 배운 추억의 정다면체 다섯개를 이렇게 또다른 곳에서 만나는 일은 즐거운 경험이다. 이렇게 여기저기 모습을 바꿔 숨어있으니, 참으로 흥미로운 녀석들이라 하지 않을수 없다.

잘안되네요

Tuesday, October 7th, 2008

어제 hyperbolic 버전의 Mckay correspondence가 있으면 좋겠다는 생각을 했고, 어떤 것들이 구성요소가 되어야 할까하는 질문을 품고 있었는데, 구체적으로 생각하고 있던 경우에 대해 저녁시간에 문득 떠오른 생각이 있었다. 이것은 2차원이 아닌 3차원에서 일어난다라는 생각에 미친 순간, 내가 시도하려했던 경우는, 6차원 다양체의 singularity, rank 11의 Hyperbolic Lie algebra, 그리고 (E7에서 중요한) 숫자 57 과 관련되어 있다! 라는 생각이 들었고... 숫자들이 전부 범상치 않은게 뭔가 있는게 아닌가... 자리에 낮아 앉아 증거찾기를시도~

했으나, 해본 결과로는 다시 개꿈... 에혀...

참고로 John McKay는 뛰어난 관찰로 Mckay correspondence를 발견했을 뿐만 아니라, 196884 = 1 + 196883 라는 의미심장한 식을 처음으로 발견한 억세게 운좋은(?) 수학자. 이런걸 보면, 꼭 힘이 좋아야 하는 것은 아니에요. 눈썰미와 후각 이런 것도 중요한 것 같아요.

양자장론 때문에 괴로워요

Thursday, October 2nd, 2008

이번 학기에는 물리학과 대학원 양자장론 수업에 가서 앉아 있습니다. 어린 시절 그땐 몰랐죠. 내가 수학과 대학원에 가서 물리학 공부를 하고 있을 것이란 사실을...

학문을 하다보면 꼭 처음에 가려고 마음먹었던 곳에 도달하기보다는, 그곳과는 다른 어딘가에서 뒤를 돌아보니, 여기도 참 와볼만한 곳이었다는 것을 깨닫게 되는 경우가 많다. - (출처 : 언젠가 버스간에서 읽었던 교차로, 대강 이런 뜻이었음)

그래서 고전역학, 양자역학, 상대론, 양자장론을 전부 동시에 공부하고 있어요... -_- ... 힘이 듭니다... 이런 거라고 할까요.

slamdunk.JPG

고전역학 기초, 양자역학 기초, 상대론 기초 ...

그러나 상대는 양자장 ㅠ.ㅠ (짜장면이 아니에요)

LHC가 고장난 틈을 타서 빨리 표준모형을 모두 정복하고 싶은 마음은 굴뚝같지만 ~~~

free field까지는 그럭저럭 견뎠는데, interaction 들어가서 길을 잃었어요. 역시 소통이 어려운가 봅니다.