Archive for the ‘고등수학’ Category

히포크라테스의 초승달

Wednesday, March 25th, 2009

고대 그리스인들에게는 자와 컴파스로 하는 작도 문제가 중요했다. 면적을 구하는 대신, 그들은 주어진 도형과 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하려 했다. 작도를 할 수 있다면, 면적을 구하는 것은 쉬운 일이다. 하지만 그들에게는 실용적인 것이 중요한 것이 아니었고, 작도를 할 수 있는가 아닌가가 중요한 문제였는데...

평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말이다. 유명한 문제로 원의 구적, 즉 원과 같은 넓이의 정사각형 작도 문제가 있다. 이 문제는 고대의 그리스인들은 끝내 해결하지 못했고,  1882년이 되어서야 불가능한 것으로 해결되었다.

이제 히포크라테스의 초승달 얘기를 해 보자. 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남긴다.

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어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다

그럴듯해 보이는가요? 심심할 때 한번, 증명을 해 보시렵니까? 주변의 초딩에게 이 사실을 한번 설명해 보시길...

한편, 이렇게 두 원 사이에 낀 초승달 중에 구적가능한 경우가 또 있는가 하는 문제는 쉬운 문제는 아닌데, 이 문제는 오직 다음 다섯 가지 경우만 가능하다는 것이 증명되어 있다. 여기서 u라는 값은, 두 부채꼴의 각도의 비율을 나타낸다.

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추후의 업데이트는 '히포크라테스의 초승달' 항목을 참조할 것.

학부수학의 뼈대 (2) : 원 위에 각도함수 정의하기

Monday, March 16th, 2009

먼저 원위에서 한바퀴를 돌면 (라디안) 만큼의 각의 변화가 있다는 사실은 고딩 1학년 정도에서 배울 것입니다. 이에 대해서는 라디안 항목을 참고하시기 바랍니다.

단위원의 모든 점 (x,y)에서 연속적으로 정의된 각도함수 의 값 를 정의하는 일이 가능한지 생각해 봅시다.

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일단 시작을 위해 점 (1,0)에 일단 각도함수의 값을  이라고 정의를 해봅시다. 위의 그림대로 원위의 점을 따라 조금씩 반시계 방향으로 이동하면서 각도함수를 연속적으로 정의해 나갈수가 있을 것으로 보입니다. 하지만 문제는 원의 한바퀴를 돌아서 다시 같은 점에 돌아왔을 때 발생합니다. 이미 으로 정의를 해놓은 마당에, 반시계 방향으로 원주 한바퀴를 돌면서  의 정의를 확장해 가다보면, 각도함수를 연속함수로 정의하기 위해서는 라고 정의를 해야하는 문제에 봉착하게 됩니다.

결론은 단위원의 모든 점 (x,y)에서 연속적으로 정의된 각도함수  를 정의하는 것은 불가능하다는 것입니다. 그럼에도 우리는 연속적으로 계속 확장이 가능한 각도함수 를 잘 이해할 수 있을 것 같다는 듭니다. 이 문제를 어떻게 해결해야 할까요?

함수는 분명히 있는데, 정의역이 원이 아니다. 그렇다면 도대체 정의역이 무엇이란 말인가? 이 문제에 대해 생각을 하다보면, 우리는 원 위에 놓여 있는 또다른 기하학적 공간을 발견하게 됩니다. 이것은 다름 아닌 직선입니다.

학부수학의 뼈대 에서 보여드린 바로 그 그림인 것이지요.

원위에서 각도함수를 정의하려다보면, 우리는 그것이 불가능함을 알게 되었습니다. 원이라는 공간과 거기서 국소적으로 확장 가능한 함수가 만나, 우리는 원위에 펼쳐진 새로운 공간을 발견하게 됩니다. 결론적으로 각도함수가 정의되어 있는 '올바른' 공간은 원이 아니라, 원을 무한번 둘둘 감고 있는 '직선'을 발견하게 되는 것입니다.

간단해 보이지만 중요한 작업이었으니 잘 숙지하도록 합시다. 오늘은 일단, 얘기된 내용과 관련된 2분20초 동영상으로 마무리합니다. 대수적 위상수학이라는 과목의 covering space 라는 개념에 대한 동영상입니다.

미적분학은 사소하지 않다

Wednesday, February 4th, 2009

이번 학기에는 미적분학 조교를 하고 있다. 요며칠간 삼각치환과 유리함수를 부분분수로 분해하여 적분하는 기술들을 가르치고 있다. 가르칠 때 말고서야, 쓸 일이 거의 없는 것이지만 그래도 이런 기술들이 작동하는 것을 보면 여전히 신기하다. 미적분학 시간에야 아이들한테 책에 나오는 기술들 가르쳐주고, 사용방법 보여주기도 빠듯하지만,삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다.

오일러의 적분정리

임의의 2변수 유리함수 에 대하여, 는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.

이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.

위의 정리가 적용되는 적분 와 초등함수로는 표현되지 않는 적분 사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.

무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계!  이것은 오로지 살아있는 교과서나 경험있는 사람들 통해서나 들어볼수 있는 것이다.

드무아브르의 중심극한정리(iv) : 가우시안의 눈부신 등장 에서도 다음과 같은 말을 써놓았었는데, 이것은 미적분학을 배우는 1학년들에게도 적용되는 말이다.

잠시 여담이지만, 이렇게 중고딩 교과서에 ‘~임이 알려져 있다’라고 하는 부분은 사실 교사에게도 학생에게도 크게 중요한 것은 아닐 것이다. 그러나 나의 경험으로 볼 때, 이 순간이야말로 선생님들이 어린 아이들의 가슴 속에 세상에 매우 긍정적인 야망을 심어줄 수 있는 좋은 찬스인 것이다. 바로 이런 곳에 더 높은 수준의 학문을 향한, 학생들이 밟을 수 있는 디딤돌이 놓여져 있는 사회가 건강하고 튼튼한 것이라는 믿음하에 이 글은 작성되고 있다.

바로 이런 지점들이 꼬맹이들을 눈부신 수학의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간인데, 그냥 기교적으로만 보이는 적분의 기술을 가르치는 시간에도 이러한 기회들은 분명히 존재한다. 좋은 선생은 이런 순간들을 절대로 놓쳐서는 안된다. 단순한 기교 너머에 심오하고 휘황찬란한 세계가 존재하고 있음을 알려줘야 하는 것이다.

수학문명을 건설하기 위해서는 많은 사람이 필요하고, 이를 위해서는 수많은 수학 교사와 수학 교수들이 합심하여 사람을 잘 키우고 수학을 제대로 잘 가르치는 일에 많은 신경을 써야하는데, 장차 이를 어찌 해나갈 것인가 생각하면 ... 이 역시 정치개혁만큼이나 깜깜...

프리즈 패턴과 군론(2)

Sunday, December 7th, 2008

오늘은 7개의 프리즈 패턴을 효율적으로 분류하는 방식에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

지난번에 보여드린 위의 발바닥 무늬를 가지고 얘기한다면 쉬울 것 같으니, 그리 해보도록 하겠습니다.

프리즈패턴을 잘 분석하기 위해서는 위의 기본변환들을 잘 이해하는 것이 중요합니다. 그러면 프리즈패턴과 마주쳤을때 착수해야 해야하는 일이 과연 무엇인지 말씀드리겠습니다.

1. 서로 다른 거울들이 어떻게 놓여있는가?
2. glide reflection이 있는가?
3. 몇개의 회전의 중심점이 있는가?

프리즈에 있는 점들은 그 프리즈의 대칭변환에 의해서 같은 위치로 옮겨질수 있으면 같은 것으로 이해합니다. 그러면 이 질문들을 머리에 담고 발바닥 프리즈를 하나하나 분석하도록 하겠습니다.

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발바닥1

여기에는 위에 해당하는 것이 아무것도 없습니다. 가장 단순한 프리즈니까요.

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발바닥2

거울은 없지만, glide 반사가 있습니다. 오른발에서 왼발 그림을 얻는 것이 바로 glide반사입니다. 이 프리즈에는 회전의 중심이 되는 점은 없네요.

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발바닥3

이 프리즈에는 거울이 있습니다. 다른 것들은 해당사항이 없네요.

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발바닥4

이 프리즈에는 거울이 두개 있습니다. 오른발바닥 옆에 거울 두개가 필요하지요.

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발바닥5

이 프리즈에는 거울도 없고, glide반사도 없습니다. 하지만 두 개의 회전 중심이 있습니다. 발안쪽의 회전중심과 발바깥쪽의 회전중심은 같은 점이 아니니까요.

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발바닥6

이 프리즈에는 거울이 있으며 세개의 거울이 'ㄷ' 자 모양으로 놓여 있습니다. 다른 것은 해당사항이 없습니다.

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발바닥7

이 프리즈에는 거울이 하나 있습니다. glide 반사는 없네요. 그리고 회전의 중심점이 하나 있습니다.

프리즈패턴의 분류는 이렇게 크게 어렵지 않게 가능합니다. 뭘 해야 하는건지 잘 전달이 되었는지 모르겠네요. 설명이 모호하면, 코멘트를 주시기 바랍니다. 이해가 간 것 같으면 숙제를 하면서 확인해보세요.

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프리즈A

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프리즈B

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프리즈C

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프리즈D

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프리즈E

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프리즈F

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프리즈G

프리즈 패턴과 군론

Tuesday, December 2nd, 2008

프리즈. [명사]
1 <건설>건축물의 벽면과 코니스 사이에 있는 띠 모양의 부분.
2 <건설>건축물의 외면이나 내면, 기구의 외면에 붙인 띠 모양의 장식물.
3 <수공>이중직으로 짠 표면에 거친 보풀이 있는 두꺼운 모직물. 주로 외투감으로 쓴다.

frieze n.【건축】 프리즈, 소벽(小壁) 《조각으로 장식한 경우가 많음》;띠 모양의 장식, 장식띠

벽면에 하는 띠모양의 장식을 말합니다. 백문이 불여일견.

바로 요런 띠장식들을 말하는 것인데요. 예를 들자면 건물의 요런 부분에 등장할 수 있겠습니다.

그렇다면 이제 수학에서 관심을 갖는 프리즈란 무엇인가에 대해 얘기를 하도록 하겠습니다. 어떤 무늬 한 조각을 가지고 있다고 합시다. 이 한 조각을 가지고 무한반복해서 띠모양의 장식을 만들고자 합니다. 여기서 문제는 '과연 본질적으로 얼마나 많은 패턴이 가능할 것인가?'가 되겠습니다.

관심을 갖는 것은 무늬가 얼마나 화려하고 예쁜가가 아니라, 패턴의 뼈대를 파악하는 것입니다. 패턴의 뼈대라는 것은 이 패턴의 대칭들을 의미하며, 이것은 이 패턴의 자기보존변환들이 이루는 군을 의미합니다. 군이 무엇인지는 다 한번쯤 들어보셨죠? 이 블로그는 진도나가는 블로그입니다. 필요하면 복습하세요~

군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문
군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문 (2): 결합법칙
군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문 (3):대칭의 언어

패턴 읽기를 배우기 위해, 다음과 같은 네 가지 대칭변환의 종류를 알아두는 것이 좋겠습니다.

다른 것들은 다 익숙하지만 아마도 glide reflection이라는 것이 생소할 수 있는데요. 이것은 선대칭과 평행이동을 합성해서 얻어지는 변환입니다. 이제 이 네 가지를 숙지했으면, 패턴 분석에 착수할 수 있습니다.

예를 들어 다음과 같은 발바닥 무늬가 하나 있다고 합시다.

이 발바닥 무늬로 만들수 있는 가장 간단한 무한반복 띠장식의 프리즈 패턴은 다음과 같습니다.

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발바닥1

한발을 들고, 옆으로 사뿐사뿐 뛰면 이런 패턴을 완성할 수 있겠습니다. 여기에는 오직 평행이동(translation)만 있습니다.

한편 다음과 패턴도 가능할 것입니다.

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발바닥2

이 패턴은 처음의 패턴과 어떤 점이 다른가를 살펴본다면, 맨 처음은 그냥 평행이동(translation)만 있었다고 한다면, 이번 그림에는 glide reflection이라고 하는 대칭변환이 포함되어 있습니다.

그럼 이런 것은 어떨까요?

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발바닥3

여기는 선대칭이 들어있으니, 위에 있는 녀석들과는 다른 게 맞습니다.

이런식으로 하나하나 파악한다면, 프리즈 패턴은 오직 일곱개!!!만이 존재합니다. 나머지 녀석들은 다음과 같습니다.

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발바닥4

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발바닥5

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발바닥6

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발바닥7

자 그럼 다음 포스팅까지 위의 프리즈패턴과 아래의 프리즈패턴 사이의 짝짓기를 해보시렵니까?

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프리즈A

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프리즈B

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프리즈C

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프리즈D

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프리즈E

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프리즈F

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프리즈G

다음 번에는 패턴 분석을 하는 효율적인 방법과 그 표기법에 대하여 쓰도록 하겠습니다. 숙제를 잊지마세요~! 평생 프리즈 보는 즐거움을 두배로 만들 수 있는 좋은 기회랍니다.

사랑하면 알게 되고 알게되면 보일지니 그때 보이는 것은 전과 같지 않으리라.