Archive for the ‘고등수학’ Category

디리클레 L-함수와 수학의 상수들

Thursday, April 1st, 2010

디리클레 베타함수는 복소 이차 수체 \mathbb{Q}(\sqrt{-1})의 정수론을 해석적으로 이해하는데 있어 중요한 역할을 하는 함수로 다음과 같이 정의된다.

\beta(s) =L_{-4}(s)=  \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} =\frac{1}{1^s} -  \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} + \cdots

리만제타 함수와 비슷한 종류의 함수로, 수체 \mathbb{Q}(\sqrt{-1})에 대한  데데킨트 제타함수 의 인자로 등장하며, 디리클레 L-함수의 한 예이기도 하다.

정수에서의 리만제타함수의 값을 구하는 문제가 수학적으로 흥미로운만큼 같은 질문을 디리클레 베타함수에 대해 할 수 있을 것이다.

이 문제에 대해 고민하게 되면, 여러 중요한 수학의 상수들(mathematical constants)과 만날 수 있으므로, 소개를 해볼까 한다.

s=1인 경우의 값은 일반적으로 디리클레 class number 공식 을 사용하여 구할 수 있는데,  우리의 경우엔 라이프니츠 급수

\beta(1)=1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\,  \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\;  \frac{\pi}{4}=0.785398163\cdots

를 얻게 된다. 원주율 (파이,π) 를 만나게 된다.

s=2인 경우는

\beta(2) =  \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots  \!=0.915965594\cdots

를 얻게 되는데, 이를 카탈란 상수 라 부른다. 초등함수의 정적분의 값들을 표현하는데 종종 등장하는 상수이며 역시 수학적으로 흥미로운 대상이다.

s=3인 경우는

\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32} 를 얻게 되는데, 일반적으로 s 가 홀수인 경우,

\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over  {4^{k+1}}(2k!)}} (k\geq 0 인 정수) 로 주어진다. 여기서 E_n은  오일러수.

한편, 이 함수의  s=1인 경우의 도함수의 값에 대해서도 생각해볼 수 있는데,

\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln  2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})

를 얻을 수 있으며 증명은 디리클레 베타함수 항목에서 찾아볼수 있다.  여기서는  오일러상수, 감마, \gamma=0.577215664901532860606512090\cdots 를 만나게 된다.

한가지 재미있는 사실은 정적분문제

\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\,  dx=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}

를 해결하는 것은 도함수의 값을 얻는 것과 거의 같은 문제라는 사실인데,  궁금한 사람들은 재미있는 정적분 항목이나  Integrals, an Introduction to Analytic Number Theory ,(Ilan Vardi, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 4 (Apr., 1988), pp. 308-315) 를 참고하면 되겠다.

다시 정리를 하자면, 처음에 정의한 디리클레 베타함수의 정수에서의 값을 구하는 과정에서 다음과 같은 상수들을 만났다.

원주율(파이,π)

카탈란 상수

오일러상수, 감마

구두장이의 칼과 수학

Saturday, August 22nd, 2009

구두장이의 칼 (이광연, 네이버 오늘의 과학, 2009-5-5) 에 나오는 그림들이 재미있어 몇 자 적는다.


시로 한편 시작하련다.


The Kiss Precise by Frederick Soddy


For pairs of lips to kiss maybe 한쌍의 입술이 키스를 할땐
Involves no trigonometry. 삼각함수가 필요하지 않을꺼야.
'Tis not so when four circles kiss 하지만 네 원이 서로 키스를 할땐 그렇지 않지.
Each one the other three. 
...


시는 계속 이어진다. 키스와 삼각함수라는 단어가 잘 어울리고 있는 멋진 시라고 할 수 있다.


맨 바깥의 가장 큰 원과 그 안에서 서로 접하며 끼어있는 세 원들로 시작을 하여, 하나의 원에는 세 개의 큰 원을 끼워넣고, 세 개의 원에는 하나의 더 작은 원을 끼워넣는다.

이 과정이 무수히 반복될때, 우리는 아폴로니우스의 개스킷을 얻는다. 서로 접하는 네 원에 대한 데카르트의 정리와 아폴로니우스 개스킷 항목을 참조


600px-Apollonian_gasket.svg.png


그리고 이렇게 세 원이 서로 접하는 공간에는 구두장이의 칼이 만들어지게 된다.

plan.gif



이 삼각형들은 비유클리드 기하학의 관점에서 보자면, 세 각이 모두 0인 삼각형이 된다. 얼마나 이상적인 삼각형(ideal triangle)인가? (http://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_triangle를 참조)


예전에 비유클리드 기하학 시리즈

를 통해서 아래와 같은 그림을 소개한 바가 있다. 

tess2.gif


위에서 나타난 구두장이의 칼, 비유클리드 기하학의 관점에서는 '이상적인 삼각형 ideal triangle'도 역시 한 조각을 가지고 반전에 반전을 거듭하면, 원의 내부를 아름답게 채울 수 있게 된다. 


modular.jpg


이러한 도형은 \Gamma(2) 로 불리는 군과 복소함수론에서 람다 \lambda(\tau)로 불리는 함수와 관계가 깊다.

\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}

\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}

(배우고 싶다면, Complex Analysis, Lars Ahlfors, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979의 elliptic modular function 섹션을 참고)


이렇게 비유클리드 기하학과 군론과 복소함수론이 함께 어우러져 만들어지는 수학은 너무너무 아름답고 정말로 공부해볼 가치가 있다고 말할 수 있다.


2010년에 인도에서 열리는 국제수학자대회(http://www.icm2010.org.in/)의 포스터는 아래와 같은데, 

logo.jpg


이런 얘기를 조금이라도 듣고난다면 왜 많은 수학자가 만나는 자리에 이런 포스터가 적합하며 많은 이들이 만족할 수 있는지, 조금 감이 잡힐 것이다. (물론 여기에는 인도에 적합하게 라마누잔의 큰 기여도 있다!)


p.s. 다만 여기 그림에 있는 삼각형은 엄밀하게 말하면 처음에 언급한 각도가 모두 0인 구두장이의 칼과는 같지 않다.

삼각치환에서 타원적분으로

Wednesday, August 19th, 2009

R(x,y)는 x,y의 유리함수라고 가정하자.  삼각치환의 사용 매뉴얼을 대략 정리해보자.


R(\cos x, \sin x)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

    t=\tan \frac{x}{2}\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}

    \int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt


R(\cosh x, \sinh x)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

    t=\tanh \frac{x}{2}\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}

    \int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt


R(x,\sqrt{1-x^2})의 적분

  • x=\cos u 치환을 사용하면, R'(\cos x, \sin x) 의 적분으로 변화


R(x,\sqrt{x^2-1})의 적분

  • x=\cosh u 치환을 사용하면, R'(\cosh x, \sinh x)의 적분으로 변화


R(x,\sqrt{x^2+1})의 적분

  • x=\sinh u 치환을 사용하면, R'(\cosh x, \sinh x)의 적분으로 변화


R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})의 적분

  • ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\} 으로 쓴 다음
  • ac-b^2와 a의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.



이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다. 

중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다. 


\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다. 

즉, y^2=ax^2+bx+c 라는 곡선을, 유리함수 f,g를 사용하여 x=f(t), y=g(t) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. 

매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자. 


그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는  \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?

y^2=1-x^4 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?

하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!

이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다. 


일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다. 

\int R(x,y)\,dx

여기서 R(x,y)는 x,y의 유리함수이고, y^2는  x의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.


타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.

타원  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1의 둘레의 길이가 4aT(k) 로 주어지기 때문이다. 여기서 k,T(k) 는 다음과 같다. 

k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}

T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx


이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다. 

나는 비율판정법을 말할 때에는 초기하급수(Hypergeometric series) 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 타원적분을 말해주는 교육을 꿈꾼다. 

그리고 나는 여전히 많은 사람들이 피리부는 사나이가 되기를 바란다. 그것이 애들을 꼬시는 사나이든지, 쥐새끼 잡는 사나이든지 간에.

라마누잔의 파이 공식

Friday, August 14th, 2009

학교에서 쓰는 미적분학 책에는 다음과 같은 연습문제가 있다.

Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula

\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}

William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of \pi.
(a) Verify that the series is convergent.
(b) How many correct decimal places of \pi do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?

여기서 묻고 있는 질문은 비율판정법 같은 것을 쓰면 충분히 답할 수 있는 것이고, 그래서 미적분학 책에 실려 있는 것일게다. 물론 이런 것을 숙제로 내는 사람도 없을테고,(나는 이 다음에 내야지 ㅋㅋ) 관심갖는 미적분학 수강생도 거의 없을 것이다. 하지만 진정한 너드란 바로 이런 것에 대한 관심에서 탄생한다.

너드의 왕이라 할 수 있는 뉴턴은 일찍이 파이의 계산과 관련하여 이런 말을 남겼다고 전해진다.

In the 17th century, Isaac Newton, taking a breather from discovering the laws of nature, managed about 15 decimal places and said, ''I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time. (EVEN MATHEMATICIANS CAN GET CARRIED AWAY, JAMES GLEICK, NYTIMES, 1987-3-8)

마땅히 할 일이 없어서 파이를 계산하고 있는 너드의 왕을 상상해 보라. 사실 내가 보기엔 수학에서 파이의 계산은 꽤나 족보가 있는 것이다. 인류의 파이계산도 많은 진화를 해 왔지만,  나름대로 (권위없음) 간략하게 요약을 하자면 이렇게 될 것 같다.

1세대 : 아르키메데스 시대 - 기하학적 근사

2세대: 뉴턴 시대 - 미적분학

3세대: 가우스 시대 - 타원적분과 그 응용

위에 있는 라마누잔의 공식도 넓은 의미로는 3세대에 들어간다고 할 수 있지 않을까?

컴퓨터로 하면 된다고 하겠지만, 그럼 과연 컴퓨터는 무엇을 어떻게 할까? 일단 힌트를 찾아보자면, http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html 같은 곳에는 다음과 같은 말이 있다.

The same equation in another form was given by the Chudnovsky brothers (1987) and is used by Mathematica to calculate pi.  (Vardi 1991; Wolfram Research)

\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!

이는 라마누잔의 공시과 아주 비슷하고 유도과정도 크게 다르지 않다.

가만히 들여다보면, 여기에 등장하는 수는 예사롭지가 않다.

\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.99999999999925\cdots

640320^3= 262537412640768744

이것은 예전에 썻는데, 지금 보니 수식이 죄다 깨져있는 숫자 163숫자 163 (2)숫자 163 (3)숫자 163 (4) 시리즈와 관련이 있지 않던가.

아무튼  라마누잔과 파이 항목에 맨위에 등장한 라마누잔의 공식을 정리해보려했으나, 쉽게 정리하기엔 아무래도 무리인듯... ㄷㄷ

'벤포드의 법칙' 대전

Wednesday, July 8th, 2009

애기똥풀님이 수학노트에 벤포드의 법칙 을 공들여 작성해 주었습니다.  격려의 박수를...

그런데 찾고보니, 이런게 있네요.

Benford’s law, Zipf’s law, and the Pareto distribution

  • 터렌스 타오, 2009-7-3

본의아니게...맞짱으로 유도한듯...헐...

자자.. 그런건 아니고

과연 어느나라 말로 배우고 싶은지를 따져봅시다. 하긴 뭐 지금 상태로는 둘다 외계어같겠지만...