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매스매티카로 경로 적분(contour integral)을 해보자

Sunday, January 15th, 2012

매스매티카로 복소함수의 경로 적분(contour integral)을 하는 문제를 생각해 보자. 경로의 매개화가 간단하게 주어진다면, 직접 매개화를 사용하여 적분을 하면 될 것이다. 그런데, 매개화하기가 좀 까다로운 경우라면 어떻게 하면 좋을까?
여기서는 매스매티카의 NIntegrate 명령어를 사용하여, 적분의 값을 수치로 얻는 방법을 생각해 볼까 한다.
아래와 같이 주어진 폐곡선을 생각하자.

contour_1.gif

contour_2.gif

반시계 방향으로 향이 주어진 이 폐곡선 γ에 대하여, contour_3.gif 를 구해 보자.

contour_4.gif

contour_5.gif

이렇게 여러 점들을 이은 직선으로 이루어진 경로에 대하여 NIntegrate 명령어를 통하여 수치적분을 쉽게 할 수 있다면, 더 일반적인 경로에 대해서도 NIntegrate 을 사용할 수 있을 것이다.
매스매티카의 ‘Get Coordinates’ 기능을 이용하여, 경로 위의 점들을 얻어 보자. 점들을 얻기 위해 다음 그림을 그렸다.

contour_6.gif

contour_7.gif

이렇게 얻어진 그림에 마우스로 오른쪽 클릭을 하면, ‘Get Coordinates’ 기능이 나타나는데, 이를 선택하면 그림 위에서 점들을 클릭한 다음 ‘copy’ 명령을 통해 클릭한 점들의 리스트를 얻을 수 있다.

contour_8.gif

이 작업을 통하여 다음과 같은 점들을 얻었다.

contour_9.gif

contour_10.gif

contour_11.gif

원 안의 점들을 선택하여 이러한 경로를 얻었다. 이를 폐곡선으로 만들기 위해 다음 명령을 실행하자.

contour_12.gif

contour_13.gif

이제 위의 폐곡선 γ에 대하여, contour_14.gif 를 구해 보자. (점들의 순서에 의하여 방향도 이미 정해졌다)

contour_15.gif

contour_16.gif

원점 주위를 반시계 방향으로 두 번 돌았으므로, 예상한대로 2를 얻는다.

여기서 사용된 매스매티카 노트북 파일은 여기에서 다운로드.