Archive for November, 2011

envelope 으로 나타나는 포물선

Wednesday, November 16th, 2011

초등학생을 위한 수학 문제에서, 다음과 같은 그림그리기 문제를 보았다. (옛날에 중학교 기술 시간에 뭔가 비슷한 걸 해본것 같기도 하다)

parabola1.gif

그림을 보면, 곡선이 하나 나타나는 것을 관찰할 수 있다. 저게 무슨 곡선인가 궁금해서 생각을 해보게 되었다.

등장하는 직선들은, \frac{x}{t}+\frac{y}{10-t}=1t=1,\cdots, 9 로 주어진다.

이렇게 "one-parameter family 에 있는 모든 곡선에 적어도 한 점에서 접하는 성질을 갖는" 곡선을 주어진 곡선의 family에 대한 envelope 이라 부른다.

이 경우엔, 다음 두 방정식에서 t를 소거함으로써 얻을 수 있다.

 F(x,y,t)=t^2 + t(y-x-10) + 10x = 0

\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+ y-x-10 = 0

적당히 정리하면 x^2-2 x y-20 x+y^2-20 y+100=0를 얻을 수 있다.

이는 이차곡선(원뿔곡선) 이며 판별식 \Delta=b^2-4ac=4-4=0으로 포물선이 됨을 알 수 있다.

parabola2.gif

고전적인 곡선의 미분기하학 문제라고 할만하고, 학부의 미분기하학 시간에 다룰만한 토픽일 법도 한데, 별다른 기억이 나지는 않는다. 포물선이 된다는걸 최근에야 처음 알았다.

저게 포물선이 된다는 것을 몰랐던 사람들에게 도움이 될까하여 적어보았다.