숫자 5 (2)

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로저스 다이로그 함수 L(x) 는 다음과 같이 정의된다.

x\in [0,1] 일 때, L(x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}dy

함수의 그래프는 다음과 같이 생겼다.

Roger_dilogarithm.jpg

L(0)=0, L(1)=\frac{\pi^2}{6} 와 같은 값을 가진다.

이 함수가 만족시키는 가장 중요한 성질로  5항 관계식 (5-term relation) 이라는 것이 있는데, 다음과 같다.

0\leq x,y\leq 1 일 때, L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\Left( \frac{1-x}{1-xy} )\right)=\frac{\pi^2}{2}

가령 x=y=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right) 로 두면, x=1-x y=y=\frac{1-y}{1-x y}=\frac{1-x}{1-x y}=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right) 가 되어,

L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10} 를 얻을 수 있다.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\frac{\log(1-t)}{t}+\frac{\log(t)}{1-t}dt=-\frac{\pi^2}{5} 과 같은 식이 성립하는 것이다.

지난 글에서 x_{i}+1=x_{i-1}x_{i+1}, x_0=a, x_1=b로 정의된 점화식이 주기 5인 수열을 정의한다고 했는데, x_{i}\to -x_{i} 로 부호만 바꿔주면,

1-x_{i}=x_{i-1}x_{i+1}로 정의되는 수열도 주기 5를 가진다는 것을 알 수 있다.

이 수열의 초기조건을 x_0=x, x_1=1-xy로 두면,

x,1-x y,y,\frac{1-y}{1-x y},\frac{1-x}{1-x y},x,1-x y,\cdots 를 얻게 된다.

위에서 서술한 로저스 다이로그 함수의 5항 관계식에 등장하는  x, 1-x y,y, \frac{1-y}{1-x y}, \frac{1-x}{1-x y} 이 나타나는 것이다.

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