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정다각형의 대각선의 길이

Wednesday, December 22nd, 2010

몇달전에 공부하는 과정에서 r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1} 와 같은 점화식을 해결해야 한 적이 있었다. 후에 정다각형의 대각선의 길이가 똑같은 관계를 만족시킨다는 것을 알게 되어 재밌게 여긴 적이 있었다. 이 때문에 해보는 정다각형의 대각선 길이에 대한 이야기이다.

 

정사각형의 대각선의 길이

한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 루트 2가 됨을 보일수 있다.  "루트2는 무리수" 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다.

 

정오각형의 대각선의 길이

정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율이 황금비가 된다는 것은 잘 알려진 사실이다.

pentagon(1).png

{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}

정오각형의 한 변의 길이가 1인 경우, 즉 a=1인 경우에 b는 황금비가 된다.

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC와 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해,

AB : AD = BE : DE 즉 a : b = b-a : a 가 성립한다.

b^2 - ab - a^2 = 0

b^2 - ab - a^2 = 0

 

톨레미의 정리

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또 다른 방법의 하나는 평면기하의 톨레미의 정리를 이용하는 것이다. 톨레미의 정리는 다음과 같다 :

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다.

즉, 아래그림에서 \overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD} 이 성립한다.

PtolemyQD.jpg

 

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또다른 방법 - 톨레미의 정리의 응용

톨레미의 정리를 아래의 그림에 적용해 보면,

pentagon(1).png

사각형 ABCD가 원에 내접하고 있으므로, 두 대각선 AC와 BD의 길이의 곱으로부터 \overline{AC}\cdot \overline{BD}=b^2을 얻고, \overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}=a^2+ab를 얻을 수 있다.

이로부터 b^2 - ab - a^2 = 0를 얻을 수도 있다.

 

정육각형의 대각선의 길이

각 변의 길이가 1인 정육각형의 대각선의 길이는 \sqrt{3}과 2가 되는데, 이는 정삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다면 어렵지 않게 구할 수 있다.

 

정칠각형의 대각선의 길이

정칠각형의 대각선의 길이도 마찬가지로 톨레미의 정리를 여러번 적용하면 구할 수 있다.

heptagon.png

한변의 길이 r_0=1 라 두고, 톨레미의 정리를 적용하면,

r_1^2=1+r_2

r_2r_1=r_1+r_2

r_2^2=r_2r_1+1

와 같은 관계를 얻을 수 있다.

이를 이용하면, 다음과 같은 사실들을 알 수 있다.

r_1x^3-x^2-2x+1=0 의 해이고, r_2x^3-2x^2-x+1=0 의 해이다.

(증명)

r_2=r_1^2-1 이므로, r_2r_1=r_1+r_2로부터 r_1(r_1^2-1)=r_1+r_1^2-1.

r_2^2=r_2r_1+1=r_1+r_2+1 이므로, r_1=r_2^2-r_2-1. 이제 r_2r_1=r_1+r_2로부터, r_2(r_2^2-r_2-1)=r_2^2-r_2-1+r_2. ■

이제 3차 방정식을 풀면 된다.

 

정다각형의 대각선의 길이에 대한 일반적인 정리들

한변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이는 아래 그림에서와 같이 순서대로  r_0,r_1,\cdots, r_{n-2} 로 나타내면,

heptagon.png

사인 정리를 이용하여

r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}} , i=0,1,\cdots,n-2

가 됨을 보일 수 있다.

이 사실을 이용하면 대각선의 길이가 여러가지 흥미로운 항등식을 만족시킨다는 것을 알 수 있다.

0\leq k\leq h<n/2인 경우, r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}가 성립한다. 여기서 우변은 k+1개항의 합.

리대수의 표현론을 공부해본 사람이라면, 비슷한 점을 발견할 수 있을 것이다.

이 점화식을 이용하면, r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq n-3 가 성립하는 것을 보일 수 있다.

이는 제2종 체비셰프 다항식이 만족시키는 항등식 U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x) 을 닮았다.

이러한 현상들을 어떻게 이해하면 좋을까?