Archive for August, 2010

1/(1+x^2) 의 적분에 관한 이야기

Saturday, August 21st, 2010
트위터에서 이야기된 적분문제

\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=?

엊그제 사람들이 트위터에서 위의 적분문제에 대하여 이야기를 나누었다.

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치환적분을 통한 해결과 의문들

x=\tan t 로 치환하면,

dx=(\tan t)'\,dt=\sec^2 t\,dt

1+x^2=1+\tan^2 t=\sec^2 t 이므로

\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\int 1 \,dt=t+C=\arctan x+C

를 얻게 된다.

이러이러하면 저러저러하게 된다는 것은 알겠는데, '이러한 치환적분을 어떻게 하면 자연스럽게 잘 이해할 수 있을까'가 사람들이 궁금해할 만한 점일 것 같다.

역사적으로 삼각치환이 어떻게 발전했는가를 알아보는것은 쉬울것 같지 않은데, 여기서는 대신에 이러한 류의 치환적분이 수학 속에 어떻게 자리잡고 있는지를 조금 이야기해볼까 한다.

함수와 도함수가 만족시키는 간단한 관계

함수 f(t)에 대하여 x=f(t), y=f'(t) 로 두어보자.

삼각함수쌍곡함수들의 경우, 다음과 같은 재미있는 패턴들을 발견할 수 있게 된다.

x=\cos t, y=-\sin t, x^2+y^2=1, y=-g(x)=-\sqrt{1-x^2}

x=\sin t, y=\cos t, x^2+y^2=1, y=g(x)=\sqrt{1-x^2}

x=\cosh t, y=\sinh t, x^2-y^2=1, y= g(x)=\sqrt{x^2-1}

x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}

x=\tan t, y=\sec^2 t, x^2-y=-1, y=g(x)=x^2+1

x=\cot t, y=-\csc^2 t, x^2+y=-1, y=g(x)=-1-x^2

x=\tanh t, y=\operatorname{sech}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2

x=\coth t, y=-\operatorname{csch}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2

한가지 눈에 띄는 것은, 여기에 등장하는 대수곡선 x^2+y^2=1,x^2-y^2=\pm 1, x^2+y=\pm1, x^2-y=-1 들이 이차곡선(원뿔곡선) 이라는 점이다.


적분에의 응용

위에서 보여준 함수들처럼 함수 f(t)의 도함수 f'(t) 가  f(t) 의 간단한 함수로 표현되는 경우, 즉 적당한 함수 g에 대하여 f'(t)=g(f(t)) 로 표현할 수 있는 경우,

\int \frac{1}{g(x)}\,dx

를 구하는 문제는 다음과 같이 해결될 수 있다.

\int \frac{1}{g(x)}\,dx=\int \frac{f'(t)}{g(f(t))}\,dt=\int \frac{f'(t)}{f'(t)}\,dt=f^{-1}(x)+C

요약하자면, 본래함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있는 함수들은, 어떤 특정한 함수의 부정적분을 구하는 문제에 응용할 수 있다는 것이다.

예)

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C

\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C

타원적분에의 응용

이러한 원리를 이용하면, 타원함수타원적분의 관계에 대해서도 생각해 볼 수 있게 된다.

어떤 적당한 상수 g_2, g_3에 대하여 바이어슈트라스의 타원함수 라는 (적어도 수학과 대학원생들에게는) 잘 알려진 복소함수가 있다.

\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+\cdots

이 함수의 도함수는 다음을 만족시킨다.

\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3

위에서 삼각함수와 같이 이 함수도 본래의 함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있는 셈이다. 여기서는 g(x)=\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}가 된다.

삼각함수에서는 x^2+y^2=1와 같은 이차곡선이 얻어졌다면, 여기서는 y^2=4x^3-g_2x-g_3 와 같은 3차곡선, 즉 타원곡선 (이차곡선의 하나인 타원과는 다른 것임) 이 얻어지게 된다.

따라서 다음과 같은 적분문제의 답은

\int \frac{\,dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}}=\wp^{-1}(x)+C

즉, 바이어슈트라스의 타원함수 \wp(z) 의 역함수가 된다.

삼각함수와 타원함수 사이의 비슷한 점들

x,y의 유리함수 R(x,y)가 주어졌을때, \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx와 같은 적분 문제에서 삼각치환이 자연스럽게 보이는 이유는 사실 적분의 역함수로 등장하는 함수들,

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C

\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C

즉, \sin x,\tan x 과 같은 삼각함수들을 우리가 잘 이해하고 있기 때문이며, 이러한 함수들은 이차곡선(원뿔곡선)의 이론과 필연적으로 만나게 된다.

다음과 같은 형태의 적분

\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx 또는

\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx

을 타원적분이라 하는데, 위에서 삼각함수의 역할과 마찬가지로 타원적분의 역함수로서 타원함수를 도입하게 되면, 적분을 이해하는 문제로부터 타원함수를 얼마나 깊이 이해하는가가 새로운 관건으로 등장하게 된다.

\sin x,\tan x 라는 함수를 써서 치환적분하는 것이 허용된다면, 왜 바이어슈트라스의 타원함수 \wp(z) 로 치환적분 하면 안되겠는가? 그리고 이 때 등장하는 곡선은 이차곡선이 아닌 y^2=4x^3-g_2x-g_3과 같은 ㅌ원곡선이다.

적분과 대수기하 : 역사적인 관점

이러한 생각들은 타원함수론의 발전에 지대한 공헌을 했던 칼 야코비의 '언제나 뒤집어라' ('man muss immer umkehren') 라는 말 속에 함축되어 있다.

아벨과 야코비는 1820년대부터 18세기부터 수학계의 뜨거운 화두였던 타원적분의 역함수로서의 타원함수와 그 이중주기와 같은 성질을 발견하고 이해를 심화시키는 경쟁에 들어간다.

그리고 훗날 리만은 이러한 타원함수들의 이중주기를 리만곡면인 토러스(즉, y^2=4x^3-g_2x-g_3와 같은 타원곡선)에서 정의된 함수로 이해하는 새로운 관점을 제시한다

이렇게 하여 기묘했던 적분의 기술들이, 어떤 함수들과 그에 연관된 대수곡선의 이해로 수학의 방향전환이 시작되며, 현대의 추상적인 대수기하의 언어속에서 적분이란 그 구체적인 모습 사라진채 흔적만 남아있게 된다.

Zagier 와 Kontsevich가 2001년에 내놓은 'Periods' 라는 제목의 글에는 이러한 말이  있다. "It can be said without much overstretching that a large part of algebraic geometry is (in a hidden form) the study of integrals of rational functions of several variables. "

이렇게 역사적으로 적분의 문제들은 함수론과 대수곡선론이 자연스럽게 만나는 풍요로운 토양을 제공하였다. 다시 말하지만  결코 사소하지 않다 (피타고라스의 창, 2009-2-4)

관련된 항목들
관련논문
  • Periods
    • Zagier-Kontsevich,Mathematics unlimited—2001 and beyond, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 771–808

정당과 지식관리시스템(5)

Sunday, August 1st, 2010

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정당과 지식관리시스템(1)
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정당과 지식관리시스템(4)

정당의 지식관리시스템을 말하며, 그것이 실제적인 의정지원 기능도 갖춰야 할 것임을 언급한 적이 있다.

어느 조직이라고 아니겠냐만은, 정당에서도 일상적인 언론모니터링과 사안별 스크랩은 필수적이라 할 것이다. 당 지도부에게는 이러한 것들이 항상 전달되어야 할 것들이며, 실무에 있는 보좌관들에게도 작게는 국정감사를 준비하고 크게는 장차 법안을 기획·보완하는 이런 작업은 일상적으로 진행되어야 하는 일일 것이다.

어차피 해야하는 일들이라면 이 작업의 결과물들을 좀더 많은 사람들이 유용하게 사용할 수 있는 방법을 생각해 보는 것도 나쁘지 않을 것이다. 언론 기사 스크랩 작업을 좀더 체계적으로 조직하여, 결과물들을 일회성으로 소모하는 것이 아니라, 더 많은 사람들이 공유할 수 있는 형태로 가꾸로, 조직의 중장기적인 지식기반으로 삼을 수 있다면 좋지 않겠는가?

그동안 시민민주주의를 위한 정치개혁 연구를 통한 주제별 위키작업을 진행하며, 단지 유용한 것 이상으로 꼭 필수적인 작업이 주제에 관련된 기사들을 그때그때 차곡차곡 쌓아두는 것임을 절실히 느끼게 되었다. 그리고 이 정도의 작업은 크게 어려운 것도 아니고 보통의 사람들이 쉽게 참여하는 것이 가능한 수준이라고 생각된다. 이러한 작업에 좀더 많은 사람들이 참여할 수 있고 경험을 갖추게 된다면, 장차 좀더 수준을 높여, 언론 기사의 모니터링 및 주제별 스크랩뿐 아니라, 다양하게 생산되고 있는 씽크탱크 보고서의 분류 및 정리도 가능해질 것이다.

잘 설계된 지식관리시스템의 활용범위는 훨씬 넓을 것이지만, 아무리 작게 잡아도 많은 사람에게 유용한 스크랩 도구 정도는 될 것이라는 점을 말하고 싶다.