디리클레 L-함수와 수학의 상수들

디리클레 베타함수는 복소 이차 수체 \mathbb{Q}(\sqrt{-1})의 정수론을 해석적으로 이해하는데 있어 중요한 역할을 하는 함수로 다음과 같이 정의된다.

\beta(s) =L_{-4}(s)=  \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} =\frac{1}{1^s} -  \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} + \cdots

리만제타 함수와 비슷한 종류의 함수로, 수체 \mathbb{Q}(\sqrt{-1})에 대한  데데킨트 제타함수 의 인자로 등장하며, 디리클레 L-함수의 한 예이기도 하다.

정수에서의 리만제타함수의 값을 구하는 문제가 수학적으로 흥미로운만큼 같은 질문을 디리클레 베타함수에 대해 할 수 있을 것이다.

이 문제에 대해 고민하게 되면, 여러 중요한 수학의 상수들(mathematical constants)과 만날 수 있으므로, 소개를 해볼까 한다.

s=1인 경우의 값은 일반적으로 디리클레 class number 공식 을 사용하여 구할 수 있는데,  우리의 경우엔 라이프니츠 급수

\beta(1)=1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\,  \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\;  \frac{\pi}{4}=0.785398163\cdots

를 얻게 된다. 원주율 (파이,π) 를 만나게 된다.

s=2인 경우는

\beta(2) =  \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots  \!=0.915965594\cdots

를 얻게 되는데, 이를 카탈란 상수 라 부른다. 초등함수의 정적분의 값들을 표현하는데 종종 등장하는 상수이며 역시 수학적으로 흥미로운 대상이다.

s=3인 경우는

\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32} 를 얻게 되는데, 일반적으로 s 가 홀수인 경우,

\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over  {4^{k+1}}(2k!)}} (k\geq 0 인 정수) 로 주어진다. 여기서 E_n은  오일러수.

한편, 이 함수의  s=1인 경우의 도함수의 값에 대해서도 생각해볼 수 있는데,

\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln  2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})

를 얻을 수 있으며 증명은 디리클레 베타함수 항목에서 찾아볼수 있다.  여기서는  오일러상수, 감마, \gamma=0.577215664901532860606512090\cdots 를 만나게 된다.

한가지 재미있는 사실은 정적분문제

\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\,  dx=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}

를 해결하는 것은 도함수의 값을 얻는 것과 거의 같은 문제라는 사실인데,  궁금한 사람들은 재미있는 정적분 항목이나  Integrals, an Introduction to Analytic Number Theory ,(Ilan Vardi, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 4 (Apr., 1988), pp. 308-315) 를 참고하면 되겠다.

다시 정리를 하자면, 처음에 정의한 디리클레 베타함수의 정수에서의 값을 구하는 과정에서 다음과 같은 상수들을 만났다.

원주율(파이,π)

카탈란 상수

오일러상수, 감마

2 Responses to “디리클레 L-함수와 수학의 상수들”

  1. 살림 says:

    건강은 좋아지셨는지요?
    님의 마음처럼 님의 몸도 빛나고 멋질 거라고 생각하는데
    아프시다는 말씀 읽고서
    한달 동안 들락 날락... 약간 안절 부절했습니다...

    건강 잘 유지하시고 회복하셔야 할 부분이 있다면
    속히 원상 복구^^ 하시길....

  2. 최미희 says:

    386세대의 늙은 맘 입니다.
    첨 접했을때 1년 조금 넘은 듯 합니다.
    작년 4월 30일 노짱님을 처음 알고 뒤지고 다니다 만났는데..
    그때가 이렇게 그리운 시간이 될줄 차마 몰랐습니다..
    젊은 학도가 미래를 고민하는 모습이 인상적이어서 즐겨찾기에 가두었다가
    그동안은 용기도 여유도 없이 지내다 오늘 들어와 보니 아직도 활동하시는것 같아 몇자 남겨 보려한것이 길어지네요. 정통적인 아줌마 버젼 이죠.
    노짱님의 가슴을 느껴보신분같아 기대를 걸고 지켜보겠습니다.
    부담느끼시고..ㅋㅋㅋㅋ 건강하십시요.