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디리클레 L-함수와 수학의 상수들

Thursday, April 1st, 2010

디리클레 베타함수는 복소 이차 수체 \mathbb{Q}(\sqrt{-1})의 정수론을 해석적으로 이해하는데 있어 중요한 역할을 하는 함수로 다음과 같이 정의된다.

\beta(s) =L_{-4}(s)=  \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} =\frac{1}{1^s} -  \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} + \cdots

리만제타 함수와 비슷한 종류의 함수로, 수체 \mathbb{Q}(\sqrt{-1})에 대한  데데킨트 제타함수 의 인자로 등장하며, 디리클레 L-함수의 한 예이기도 하다.

정수에서의 리만제타함수의 값을 구하는 문제가 수학적으로 흥미로운만큼 같은 질문을 디리클레 베타함수에 대해 할 수 있을 것이다.

이 문제에 대해 고민하게 되면, 여러 중요한 수학의 상수들(mathematical constants)과 만날 수 있으므로, 소개를 해볼까 한다.

s=1인 경우의 값은 일반적으로 디리클레 class number 공식 을 사용하여 구할 수 있는데,  우리의 경우엔 라이프니츠 급수

\beta(1)=1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\,  \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\;  \frac{\pi}{4}=0.785398163\cdots

를 얻게 된다. 원주율 (파이,π) 를 만나게 된다.

s=2인 경우는

\beta(2) =  \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots  \!=0.915965594\cdots

를 얻게 되는데, 이를 카탈란 상수 라 부른다. 초등함수의 정적분의 값들을 표현하는데 종종 등장하는 상수이며 역시 수학적으로 흥미로운 대상이다.

s=3인 경우는

\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32} 를 얻게 되는데, 일반적으로 s 가 홀수인 경우,

\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over  {4^{k+1}}(2k!)}} (k\geq 0 인 정수) 로 주어진다. 여기서 E_n은  오일러수.

한편, 이 함수의  s=1인 경우의 도함수의 값에 대해서도 생각해볼 수 있는데,

\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln  2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})

를 얻을 수 있으며 증명은 디리클레 베타함수 항목에서 찾아볼수 있다.  여기서는  오일러상수, 감마, \gamma=0.577215664901532860606512090\cdots 를 만나게 된다.

한가지 재미있는 사실은 정적분문제

\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\,  dx=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}

를 해결하는 것은 도함수의 값을 얻는 것과 거의 같은 문제라는 사실인데,  궁금한 사람들은 재미있는 정적분 항목이나  Integrals, an Introduction to Analytic Number Theory ,(Ilan Vardi, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 4 (Apr., 1988), pp. 308-315) 를 참고하면 되겠다.

다시 정리를 하자면, 처음에 정의한 디리클레 베타함수의 정수에서의 값을 구하는 과정에서 다음과 같은 상수들을 만났다.

원주율(파이,π)

카탈란 상수

오일러상수, 감마