Archive for February, 2010

5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (5) : 방정식과 체확장

Thursday, February 18th, 2010

지난이야기
5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (1) : 근의 공식
5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (2) : 켤레복소수
5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (3) : 풀 수 있는 방정식
5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (4) : 방정식의 해와 대칭군

전에 쓴게 너무 오래되었지만 간략하게 요약을 하자면, 방정식의 해들이 가진 대칭성을 들여다보면 방정식에 대해 많은 것을 이해할 수 있다는 것이다. 여기서의 대칭성을 이해하기 위한 수학의 언어가 바로 군론이다. 오늘은 방정식으로부터 군을 얻는 과정을 설명하기 위해 유용한 것을 하나 말하려 한다. 바로 체와 체확장의 개념이다. 핵심을 말하자면, 방정식의 해로부터 체확장이라는 것을 얻고, 다시 체확장으로부터 군을 얻는다는 것이다. 즉 방정식->체확장->군의 과정을 거쳐 방정식에 대한 정보를 담고 있는 군을 하나 얻은 뒤, 그 군을 들여다보고 방정식에 대한 정보를 얻는 것이다.

(field)란 간략하게 말하면 유리수, 실수, 복소수 처럼 사칙연산, 즉 더하기· 빼기·곱하기·나누기를 할 수 있는 대수적 구조를 말한다. 자주 사용되는 체들에 대하여 다음과 같은 기호들을 사용한다:

유리수체 \mathbb{Q} (quotient의 머리글자), 실수체 \mathbb{R} (real), 복소수체 \mathbb{C} (complex).

체론(field theory)에서 가장 기본적인 개념은 체확장이라고 하는 것인데, 근의 공식을 이해하기 위해서도 중요한 개념이라 하겠다.  예를 하나 들어보자. 방정식 x^2+1=0를 풀게 되면, 실수체에 허수를 집어넣어 복소수로의 확장을 얻게 된다. 즉 이 방정식으로부터 실수체 \mathbb{R}의 체확장인 복소수체 \mathbb{C}를 얻게 된다. 이와같이 방정식의 계수들이 들어있던 체로부터 시작해서, 방정식을 풀어 그 해들을 체에 집어넣어주면 체확장을 얻게 된다. (일반적으로 체 K가 체 F를 포함할 때, 즉 F\subset K일때, K를 F의 체확장이라 한다.)

유리수 계수를 갖는 기약인 (즉 유리수체 위에서 인수분해되지 않는) 다항방정식이 주어졌을때, 유리수체의 확장을 얻는 예를 몇개 보도록 하자.

방정식 x^2-2=0가 있을때 그 해\{\sqrt{2},-\sqrt{2}\}들을 집어넣어주면, 새로운 유리수체의 확장 \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|a,b\in \mathbb{Q}\} 를 얻게 된다.

또다른 예로 방정식 x^3-2=0을 보자.  x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})(x-\omega\sqrt[3]{2})(x-\omega^2\sqrt[3]{2})로 인수분해된다. 여기서 \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}.  방정식의 해집합은 세 원소로 구성되며, \{\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\}이다. 유리수체 \mathbb{Q}\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}를 집어넣는 것은, 사칙연산을 통하여 \sqrt[3]{2}, \omega를 넣어주는 것으로 충분하다. 따라서 유리수체의 확장 \mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}) 를 얻게 된다.

x^4 - 10x^2 + 1=0의 해집합은 \{ \sqrt{2} + \sqrt{3}, \sqrt{2} - \sqrt{3}, -\sqrt{2} + \sqrt{3},-\sqrt{2} - \sqrt{3}\}이므로, 사칙연산을 통해 \sqrt{2},\sqrt{3}를 넣어주는 것으로 충분하고, 체확장 \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})를 얻는다.

z^4+z^3+z^2+z^1+1=0 의 해집합은 \{\zeta,\zeta^2,\zeta^3,\zeta^4\}이다.  여기서 \zeta=\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}+i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right).  체확장 \mathbb{Q}(\zeta)을 얻는다.

다음 번에는 이러한 체확장으로부터 군을 얻는 과정을 살펴보도록 하자.