복소로그함수와 맴돌이

복소로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.

복소함수 y(z)에 대한 오일러 미분방정식 을 생각해보자.

z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0

이 미분방정식은 원점 즉, z=0에서 특이점을 가진다.

로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 \alpha=1\beta=0 인 간단한 경우를 생각해 보자.

z^2\frac{d^2y}{dz^2}+ z\frac{dy}{dz}=0

선형 이계 미분방정식 이므로 z=1 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.

두 함수 y_1=1과 y_2=\log z은 미분방정식의  z=1 근방에서의 해공간의 기저가 된다.  복소평면의 z=1 근방에서 국소적으로 생각하고 있으므로, y_2(1)=0 인 로그함수의 가지(branch)를 선택하자.

정말로 미분방정식의 해인지 확인을 해볼수 있다.

y_1'=0이므로 미분방정식의 해이다. 또, y_2'=1/z, y_2''=-1/z^2이므로 역시 미분방정식의 해이다.

선형미분방정식의 이론에 의하여, 이 미분방정식의 z=1 근방의 모든 해는 적당한 복소수 c_1,c_2에 대하여 y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2의 형태로 쓸 수 있다.

이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를, 원점 주변의 경로를 따라 해석적확장(analytic continuation) 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.

1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2 으로 남아 있다.

한편, 미분방정식의 특이점인 z=0 즉, 원점 주위를 z=1에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 y_1=\log z를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, 복소로그함수와 리만곡면에서 보았듯이 2\pi i만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 \log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2 를 얻게 된다.

따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 대응시킬 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 y_1,y_2에 대하여 행렬

\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

에 대응된다.

한바퀴 도는 경우가 행렬 \begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는 \begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, 세바퀴 도는 경우는 \begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, 거꾸로 한바퀴 도는 경우는 \begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ... 에 대응된다.

일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism) \pi_1 \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C}) 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 여기서 \pi_1 은 복소평면에서 특이점들을 뺀 공간의 fundamental group. 이러한 개념들을 이해해야, 힐버트 문제중의 하나인  ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ 와 같은 것에 접근할 수 있다.

즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 z^2\frac{d^2y}{dz^2}+ z\frac{dy}{dz}=0 의 맴돌이군은 정수들이 이루는 군 \mathbb{Z}가 된다.

복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.

2 Responses to “복소로그함수와 맴돌이”

  1. Soul says:

    오 학부 2학년인데 정말 재미있네요 ㅎㅎㅎ
    이렇게 고급 수학의 세계를 조금씩 엿볼 수 있게 하는 글을 계속 써주셨으면 좋겠습니다 :)

  2. pythagoras says:

    Soul/ 노력해보도록 할께요.