5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (3) : 풀 수 있는 방정식

지난이야기
5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (1) : 근의 공식
5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (2) : 켤레복소수

어떤 방정식을 잘 풀 수 없는가를 생각해 보기 전에, 과연 어떤 방정식을 풀 수 있는 것일까 한번 생각해 보자.

예전에 소개한 적이 있지만, 다시 한번 생각해보도록 하자.

방정식 z^4+z^3+z^2+z^1+1=0 을 어떻게 풀 수 있을까?

이 방정식은 다음과 같이 풀수 있다.

양변을 z^2으로 나누면, z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0 을 얻게 된다.

y=z+\frac{1}{z} 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있다.

z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0

방정식을 풀면,

y^2+y-1=0

y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}

y=z+\frac{1}{z} 로 치환하였으므로,  z^2-yz+1=0가 만족된다.

따라서 z=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2}

그러므로 네 개의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}+i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)

\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}-i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)

\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)

\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)

이 과정을 거의 같지만 약간만 다르게 다시 써보자.

복소수의 지식에 의하면 \zeta=e^{2\pi i \over 5}=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5} 는 처음에 주어진 방정식 z^4+z^3+z^2+z^1+1=0의 해이다. 그리고 이 방정식의 네 해는 \zeta,\zeta^2,\zeta^3, \zeta^4로 주어짐을 안다.

이 방정식을 풀 때, 가장 중요한 아이디어는 y=z+\frac{1}{z} 로 치환하는 과정이었다.

이 치환을 통하면 우리는 y_1=\zeta+\zeta^4 를 새로운 하나의 수로 생각하고, y_2=\zeta^2+\zeta^3를 또 다른 하나의 수로 생각하는 셈이다.

그러면 y_1+y_2=\zeta^1+\zeta^4+\zeta^2+\zeta^3이므로 근과 계수와의 관계를 적용한다면, y_1+y_2=-1 를 얻는다.

그리고 \zeta^5=1 을 사용하면, y_1y_2=(\zeta^1+\zeta^4)(\zeta^2+\zeta^3)=\zeta^3+\zeta^4+\zeta^6+\zeta^7=\zeta^3+\zeta^4+\zeta^1+\zeta^2=-1 를 얻게 된다.

그러면 y_1y_2는 방정식 y^2+y-1=0의 해임을 알 수 있게 되는 것이다.

이렇게 해들을 가지고 지혜롭게 잘 섞어서 새로운 수 y_1=\zeta+\zeta^4, y_2=\zeta^2+\zeta^3 를 만들면, 때때로 4차 방정식의 근들의 결합이 만족시키는 2차 방정식을 얻게 되고, 4차방정식을 2차방정식 두 번 푸는 문제로 바꿀 수 있게 된다.

한가지 흥미로운 사실을 지적하자면, 1과 4는 \{1,2,3,4\} 로 구성된 합동식 (모듈로 modulo 연산) 의 세계에서 제곱이고, 2와 3은 제곱이 아니라는 것이다.

1^2=1\pmod 5

2^2=4 \pmod 5

3^2=9=4 \pmod 5

4^2=16=1 \pmod 5

이 사실은 가우스와 순환소수와 함께 생각하면, 그의 수학이 어디에서 잉태되고 있었는지를 가늠케 해주는 것들인데, 이것은 다시 훗날의 이야기거리로 남겨두자.

아무튼 위에서의 생각을 좀더 확장시키면, 가우스가 정17각형이 작도가능함을 보였던 방법을 이해할 수 있게 된다.

16차방정식 z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0 에 대하여 생각해 보자. 그러나 이제부터 자세한 설명은 생략한다!

\zeta=e^{2\pi i \over 17}=\cos\frac{2\pi}{17}+i\sin\frac{2\pi}{17} 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표이다.

  • (3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}
  • 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}
    • A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}
    • A_0+A_1= -1A_{0}A_{1} = -4, A_0>A_1
    • A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} , A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}
  • 이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • B_0 = \zeta^{13}+ \zeta^{16}+ \zeta^4 + \zeta^1
    • B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}
    • B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2
    • B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}
    • B_0+B_2=A_0, B_0B_2= -1, B_0>0
    • B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}, B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}
    • B_1+B_3=A_1, B_1B_3= -1, B_{1}> 0
    • B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}, B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}
  • 이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류
    • C_0= \zeta^{16}+ \zeta^1, C_4= \zeta^{13} +\zeta^4, C_0 > C_1
    • C_0+C_4=B_0, C_0C_4=B_1
    • C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}
    • C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}
  • 이제 마무리
    • \zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}
    • \cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}

그러므로 정17각형은 작도가능하다!!

요약 : 어떤 방정식을 잘 풀 수 없는지 알기 전에, 풀 수 있는건 도대체 무엇이 있나 탐색하는 시간이었다. 그 예로, 방정식 z^4+z^3+z^2+z^1+1=0z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0의 해를 어떻게 제곱근기호를 사용하여, 구체적으로 써 내려갈 수 있는지 살펴보았다. 그러기 위해서 우리는 방정식의 여러 해들을 지혜롭게(!) 결합시켜 얻은 새로운 수들이 만족시키는 새로운 방정식을 찾았다. 그러면 방정식의 차수는 낮아지고, 이 과정을 반복하면 방정식을 풀 수 있는 희망이 싹틀때도 있다.

그런데 도대체 우리는 왜 이 방정식들을 이렇게 잘 풀 수 있었을까? 이야기는 계속된다.

7 Responses to “5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (3) : 풀 수 있는 방정식”

  1. 려우 says:

    님께서는 학부시절 전공과목 공부를 얼마나 하셨는지...... 궁금합니다. 답변 혹시 주실 수 있을까요?

    시험기간 유무에따라서도 달라졌는지.. 좀 구체적으로 답변 주시면 더 고맙겠습니다.

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  3. SONU says:

    려우님 질문은 저도 많이 궁금하네요.^^;

  4. pythagoras says:

    려우,SONU/ 이런 질문은 참 난감하네요. 공부를 얼마나 했다고 말할 수 있을까요. 당연히 시험기간에는 시험공부를 더 했겠구요.(시험 보기전엔 외우는게 필요하지요) 평소에도 계속 공부를 했다고 할 수 있지요. 꼭 수업을 듣는게 아니라도. 궁금한 것들 찾아가며 도서관에 들락거리면서 말이지요. 학부생을 마칠 즈음에는 대학원의 기초과목 정도는 어느 정도 알았다고 할 수 있겠네요.

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  6. ㅇㅇ says:

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