5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (2) : 켤레복소수

지난이야기

5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (1) : 근의 공식

제목을 갈루아이론 입문에서 '5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까'로 변경하였다.

오늘은 대수방정식과 대칭성이 도대체 무슨 관계가 있는지에 대한 이야기를 해볼까 한다.

실계수 방정식 x^2+1=0 에 대하여 생각해보자. 이 방정식은 실수 내에서는 해를 가지지 않으며, 해를 얻기 위해서는 허수라는 것을 실수에 집어넣어 실수를 복소수로 확장하는 작업이 필요하다. (유식한말을 약간 사용하자면, 복소수체 \mathbb{C} 는 실수체 \mathbb{R}의 체확장이라 한다)  이 방정식은 복소수 내에서 두 개의 해 \{i,-i\}를 가진다.

이제 켤레복소수에 대해 생각해볼 차례이다. 복소수 \alpha+\beta i (\alpha, \beta는 실수) 에 대하여 복소수 \alpha-\beta i를 켤레복소수라 한다. \alpha+\beta i의 켤레복소수를 취하여 \alpha-\beta i를 얻는데, 여기서 또한번 켤레복소수를 취하면 다시 \alpha+\beta i 를 얻게 된다. 복소수를 켤레복소수로 보내는 함수를  \sigma(z)=\bar{z} 라고 표현한다면, \sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z가 된다. 이를 간략하게 쓰자면 \sigma^2=\operatorname{id} , 즉 켤레복소수를 취하는 것을 함수로 보아 자기자신과 합성을 하면 항등함수를 얻게 된다는 것이다.

여기서 원소 두 개짜리 군 \{\operatorname{id}, \sigma}\} 을 얻는다. 이를 유식하게는\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\} 라고 하지만, 차차 알아가도록 하자.

지금 방정식 x^2+1=0과 그 해집합 \{i,-i\} 그리고 복소수를 복소수로 보내주는 두 함수, 항등함수와 켤레복소수 함수로 만들어진 군 \{\operatorname{id}, \sigma}\}가 있다.

켤레복소수에 의하면,  \sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i에서 방정식 x^2+1=0의 해가 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있다.

군에 의하여 방정식의 해들은 그 내부에서 서로 바뀐다. 그러나 그 둘이 만족시키는 방정식 x^2+1=0 은 변하지 않는다. 이것이 바로 '변화속의불변' - 대칭성이다. 한 방정식의 모든 해는 서로 변해도, 그들은 모두 여전히 같은 방정식을 만족시킨다.

좀더 일반적인 상황을 볼 수 있다.

본고사용 문제집책의 단골문제중 하나로 이러한 것이 있다.

복소수 \alpha+\beta i (\alpha, \beta는 실수)가 실계수방정식 f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, (a_n\neq 0 ) 의 해이면, 켤레복소수 \alpha-\beta i도 이 방정식의 해이다.

켤레복소수의 성질을 잘 쓰면 다음과 같이 간단히 증명된다.

(증명)

z=\alpha+\beta i라 두자. f(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0 이다.

좌변과 우변에서 각각 켤레복소수를 취하면,

\overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0} = a_n \bar{z}^n + a_{n-1} \bar{z}^{n-1} + a_{n-2} \bar{z}^{n-2} + \cdots + a_1 \bar{z} + a_0=0 을 얻는다.

따라서 f(\bar{z})=f(\alpha+\beta i)=0 이 된다. (증명끝)

하나의 해 \alpha+\beta i는 켤레복소수를 취하는 작업에 의하여 \alpha-\beta i로 변했다. 그러나 그들은 여전히 방정식 f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0의 해이다. 왜냐하면 방정식이 실수계수로 주어졌으므로, 켤레복소수를 취해도 방정식 자체는 변하지 않기 때문이다. 해들의 내부적인 위치변화만 있었을뿐, 방정식은 변하지 않았다.

\overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0} = a_n \bar{z}^n + a_{n-1} \bar{z}^{n-1} + a_{n-2} \bar{z}^{n-2} + \cdots + a_1 \bar{z} + a_0=0

요약 : 방정식, 그 해집합, 그리고 군이 있다. 군은 해들의 위치를 서로 바꾸어준다. 그러나 방정식 자체는 변화하지 않는다.

방정식의 해들이 서로 위치를 어떻게 바꾸는가를 들여다보는데서, 대칭성의 이야기 즉 군론이 방정식의 이야기에 끼어들게 된다. 다음번에는 켤레복소수를 넘어 좀더 일반적인 상황에 대해 이야기하겠다.

3 Responses to “5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (2) : 켤레복소수”

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