5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (1) : 근의 공식

그간 너무 뻑뻑하고 진지한 글만 올린것 같아 오랜만에 즐거운 수학연재를 해볼까 한다. 마침 10월 25일이 갈루아의 생일이라기에, 갈루아이론에 대해 얘기해볼까 한다.

오래전에 군론입문을 쓴적이 있다.

군론이란 바로 대칭의 언어임을 언급하면서 마무리되었다. 이 대칭의언어, 군론의 이야기는 바로 방정식을 푸는 문제에서부터 시작되었다.

2차방정식 ax^2+bx+c=0의 근의 공식은

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} 이다. 중학교에서 가르쳐준다.

3차 방정식의 근의 공식은 안 배웠을 것이다.  http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function 에 따르자면, 방정식 ax^3+bx^2+cx+d=0의 근의 공식은

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왜 안 배웠는지도 알 수 있고, 안 배우길 잘 했다는 생각도 들 것이다. 4차방정식에 대해서는 쓰진 않겠다.

중요한 것은 2,3,4차 방정식에 대해서는 이렇게 근의 공식이 있다!는 것이다.

근의 공식이란 위에서처럼 방정식의 해를 계수의 사칙연산과 근호를 통하여 표현하는 것을 말한다.

그러면 5차방정식 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 의 근의 공식은 무엇일까? 6차방정식은? 7차 방정식은?

그러한 것은 없다. 위에 있는 2,3차 방정식처럼  a,b,c,d,e,f\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots 를 사용하여 표현할 수 있는 공식이 없다는 말이다.

외계인이 있을까? 그런 것이 누군가의 눈에 띄는 순간 그것은 있는 것이다. 그런데 이제까지 발견이 되지 않았다고 없다고 말할 수 있는 것은 아니다.  무언가가 없다고 확실하게 말하는 것은 그 난이도에서 차원이 다른 문제다. 있다는 것을 증명하는 것은 찾아서 보여주면 되지만, 없다는 것을 보이기 위해서는 뭔가 또다른 이야기가 필요한 것이다.

바로 이 또다른 이야기. 군론 즉, 방정식이 가지고 있는 대칭성이 5차이상의 방정식에 대하여 근의 공식이 있을수없다는 것을 말해줄 것이다.

20세기에 들어와 현대입자물리학의 핵심개념이 된 대칭의 언어는 바로 이 방정식의 근의 공식을 찾아가는 모험에서 탄생하였다.

다음 이야기에서는 방정식과 대칭성의 연결고리를 찾아본다.

4 Responses to “5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까 (1) : 근의 공식”

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