라마누잔의 연분수, 세가지 실타래

수학과 대학원생이 되면 좋은점 - 라마누잔 이야기(피타고라스의 창, 2008-6-24) 에서 언급한 적이 있지만, 하디의 눈을 사로잡은 공식 중에 아래와 같은 것이 있다.

\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots

\varphi 는 황금비


이 식을 중심으로 엮인 세 개의 실타래가 있다. 


첫번째 실타래는 q-초기하급수의 이론으로 위의 식과 관련있는 것은 

R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(q;q)_n} 이다. 

R(z)=R(zq)+zqR(zq^2) 의 성질을 만족시킨다.


G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} ,  H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} 와 같은 함수는 H(q)=R(q), G(q)=R(1) 로부터 얻어진다.

바로 이 성질로 인하여, 연분수전개가 가능해지는데

\frac{H(q)}{G(q)}=\cfrac{R(q)}{R(1)} = \cfrac{1}{1+q\cfrac{R(q^2)}{R(q)}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+q^2\cfrac{R(q^3)}{R(q^2)}}}=\cdots

이를 반복하여, 다음을 얻는다.

\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}


두번째 실타래는 물리학의 등각장론이다. 

등각장론에서 finite size effect 라고 불리는 것이 끼어드는데, 아래와 같이 위에 등장했던 함수들의 앞에 곱하여지는 이상한 녀석들 q^{-\frac{1}{60}},q^{\frac{11}{60}},q^{\frac{1}{5}}을 설명한다. 


q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}

q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}

q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}


세번째 실타래는 모듈라 성질이다. 

위에서 곱하진 이상한 녀석들에 의하여, 이 함수들은 모듈라(modularity)라 불리는 성질을 갖게 된다. 이곳은 잘 닦여져 있는 세계이다. 

r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}


여기서 q=e^{2\pi i\tau}


만약 \tau=i 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 맨위에 있는 값을 얻을 수 있게 된다. 

r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}



나는 요즘 q-초기하급수와  모듈라(modularity)의 두 세계를 잇고 있는 혹은 그 둘의 어떤 교집합을 만들어 내고 있는, 저 두번째 실타래에 대해 알고 싶다. 

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