삼각치환에서 타원적분으로

R(x,y)는 x,y의 유리함수라고 가정하자.  삼각치환의 사용 매뉴얼을 대략 정리해보자.


R(\cos x, \sin x)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

    t=\tan \frac{x}{2}\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}

    \int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt


R(\cosh x, \sinh x)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

    t=\tanh \frac{x}{2}\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}

    \int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt


R(x,\sqrt{1-x^2})의 적분

  • x=\cos u 치환을 사용하면, R'(\cos x, \sin x) 의 적분으로 변화


R(x,\sqrt{x^2-1})의 적분

  • x=\cosh u 치환을 사용하면, R'(\cosh x, \sinh x)의 적분으로 변화


R(x,\sqrt{x^2+1})의 적분

  • x=\sinh u 치환을 사용하면, R'(\cosh x, \sinh x)의 적분으로 변화


R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})의 적분

  • ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\} 으로 쓴 다음
  • ac-b^2와 a의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.



이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다. 

중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다. 


\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx 형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하기 때문이다. 

즉, y^2=ax^2+bx+c 라는 곡선을, 유리함수 f,g를 사용하여 x=f(t), y=g(t) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. 

매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자. 


그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는  \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} 와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?

y^2=1-x^4 를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?

하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!

이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다. 


일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다. 

\int R(x,y)\,dx

여기서 R(x,y)는 x,y의 유리함수이고, y^2는  x의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.


타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.

타원  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1의 둘레의 길이가 4aT(k) 로 주어지기 때문이다. 여기서 k,T(k) 는 다음과 같다. 

k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}

T(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx


이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다. 

나는 비율판정법을 말할 때에는 초기하급수(Hypergeometric series) 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 타원적분을 말해주는 교육을 꿈꾼다. 

그리고 나는 여전히 많은 사람들이 피리부는 사나이가 되기를 바란다. 그것이 애들을 꼬시는 사나이든지, 쥐새끼 잡는 사나이든지 간에.

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