라마누잔의 파이 공식

학교에서 쓰는 미적분학 책에는 다음과 같은 연습문제가 있다.

Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula

\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}

William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of \pi.
(a) Verify that the series is convergent.
(b) How many correct decimal places of \pi do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?

여기서 묻고 있는 질문은 비율판정법 같은 것을 쓰면 충분히 답할 수 있는 것이고, 그래서 미적분학 책에 실려 있는 것일게다. 물론 이런 것을 숙제로 내는 사람도 없을테고,(나는 이 다음에 내야지 ㅋㅋ) 관심갖는 미적분학 수강생도 거의 없을 것이다. 하지만 진정한 너드란 바로 이런 것에 대한 관심에서 탄생한다.

너드의 왕이라 할 수 있는 뉴턴은 일찍이 파이의 계산과 관련하여 이런 말을 남겼다고 전해진다.

In the 17th century, Isaac Newton, taking a breather from discovering the laws of nature, managed about 15 decimal places and said, ''I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time. (EVEN MATHEMATICIANS CAN GET CARRIED AWAY, JAMES GLEICK, NYTIMES, 1987-3-8)

마땅히 할 일이 없어서 파이를 계산하고 있는 너드의 왕을 상상해 보라. 사실 내가 보기엔 수학에서 파이의 계산은 꽤나 족보가 있는 것이다. 인류의 파이계산도 많은 진화를 해 왔지만,  나름대로 (권위없음) 간략하게 요약을 하자면 이렇게 될 것 같다.

1세대 : 아르키메데스 시대 - 기하학적 근사

2세대: 뉴턴 시대 - 미적분학

3세대: 가우스 시대 - 타원적분과 그 응용

위에 있는 라마누잔의 공식도 넓은 의미로는 3세대에 들어간다고 할 수 있지 않을까?

컴퓨터로 하면 된다고 하겠지만, 그럼 과연 컴퓨터는 무엇을 어떻게 할까? 일단 힌트를 찾아보자면, http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html 같은 곳에는 다음과 같은 말이 있다.

The same equation in another form was given by the Chudnovsky brothers (1987) and is used by Mathematica to calculate pi.  (Vardi 1991; Wolfram Research)

\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!

이는 라마누잔의 공시과 아주 비슷하고 유도과정도 크게 다르지 않다.

가만히 들여다보면, 여기에 등장하는 수는 예사롭지가 않다.

\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.99999999999925\cdots

640320^3= 262537412640768744

이것은 예전에 썻는데, 지금 보니 수식이 죄다 깨져있는 숫자 163숫자 163 (2)숫자 163 (3)숫자 163 (4) 시리즈와 관련이 있지 않던가.

아무튼  라마누잔과 파이 항목에 맨위에 등장한 라마누잔의 공식을 정리해보려했으나, 쉽게 정리하기엔 아무래도 무리인듯... ㄷㄷ

4 Responses to “라마누잔의 파이 공식”

  1. 애기_똥풀 says:

    오. 블로그에서 지나가다 들은 것도 같군요 :)

    그나저나 이번 포스팅에서 가장 기뻤던 것은, mathworld.com 의 정상화를 확인할 수 있었다는 점 ㅜㅜ 한동안 접속 불가였지 않나요? ^^

  2. 진정한너드는.. says:

    님의 싸부가 아닐런지...

  3. 한명추가... says:

    진정한 너드 중에 너드는(생존한) 페렐만 같네요... '100년의 난제 푸앵카레 추측은 어떻게 풀렸을까?' 라는 책을 구매했는데요.. 제 수준에 딱! 맞는듯(신변잡기식으로 풀어놓았거든요ㅎ)

    우쨌거나, 아니 땐 굴뚝에 연기나는 법은 없는 듯...(무슨소리야?)

  4. 뷁군 says:

    숙제로 낸 사람 있어요

    저희학교 숙제였습니다(...)