Archive for July, 2009

문명, 수학의 필하모니 -김홍종

Sunday, July 19th, 2009

문명, 수학의 필하모니
김홍종, 2009년 3월 출간.

어느 면으로 보아도 수학 대중 서적 중에서는 매우 높은 위치에 있는 책이라고 생각한다.

하지만 역시 씁쓸함을 감출 수 없다.

여러 투표의 방식 중에서 보르다셈법을 설명하는 곳에는 이런 것이 나온다.

이제 노무자의 말을 들어보자.

여보시오. 당신들은 대학 문 앞에도 못 가보았소? 평점이 A인 학생은 4점, B인 학생은 3점, (중략) 그러니까 각 후보의 점수는 ... 이고, 따라서 가장 평점이 높은 제가, 바로 노무자가 당선되는 것 아닙니까? 맞습니다. 맞고요. 원더풀, 뷰티풀~
김홍종, '문명, 수학의 필하모니', 199p

이인자, 노무자, 정동자, 김중자라는 말을 쓰고 있으므로, 노무자라는 것은 봐줄수있다고 치자. 하지만 나는 '대학 문 앞에도 못 가보았소' 와 같은 표현들을 절대로 유머로 받아들일 수가 없다. 아마도 속에서 하고 싶었던 말을 한 것이리라.

말하기에 대하여

Saturday, July 18th, 2009

하도 말없이 지내는 삶이 길어서인지 나는 사람들과의 대화라는 것이 갈수록 어렵게 느껴진다. 세상에 보면 말을 쉬지도 않고 길게 (그 안에 내용이 있건 없건간에) 잘하는 사람들이 있는데, 나로서는 그런 것이 도저히 따라하기 힘든 부러운 재주라고 생각한다. 말이 쉽지 않으면 많은 경우 사람들과 친해지는 데도 문제들이 생기기 때문에 이런건 사실 문제가 좀 있다. 이 다음에 내 아이도 나처럼 되면 어쩌나 하는 걱정을 아주 조금 한다.

내가 왜 말을 어려워하는가 생각해보자면, 말에도 생각과 논리를 담으려하고 기본적으로 삼단논법을 따르려 하는게 크지 않은가 싶다. 보통의 대화라는 것은 단편적인 말들이 이리저리 예측할 수 없는 곳으로 튀어버리는 무정형의 것이 보통이다. 더군다나 나는 조금의 시간이 지나도 생기가 사라져버리는, 그 말을 했건 하지 않았건 우주에는 아무런 변화를 가져오지 않을 것 같은 말에는 완전히 무능하다. 그런데 사교란 보통 그런 말들의 잔치가 아닌가.

92~93p 생각하기를 좋아하는 독일인들은 '대화를 위한 대화'를 위해서라기보다는 자기 의견을 피력하기 위해서 말을 한다. 극단적으로 말하자면 별 생각 없이도 말할 수 있는 프랑스인들과는 달리, 독일인은 자신이 표현할 수 있는 것보다 더 많은 생각을 한다. 이들에게는 생각이 없으면 말도 할 수 없는 이상한 메커니즘이 장착되어 있는 모양이다. 그래서 어울려 대화하다보면 배우는 것은 엄청 많은데 가끔씩 피곤해지는 이유가 거기 있다. 자기 말이 뭔가 논리적이지 않거나 주장이 들어 있지 않으면 불편하고 켕기는 것이다. 그래서 독일어는 시를 짓고 형이상학을 논하기에 매우 화려하고 풍부하지만 대화에 있어서는 꽤나 걸리적거리는 언어라고 누군가 말했던가.

독일 - 내면의 여백이 아름다운 나라

  • 장미영,최명원
  • 출판사 리수, 2006-06-05

이런 걸 보면, 나는 내 영혼은 독일인이 아닌가 생각이 든다.

208p 핀란든 바이어는 국민 특성상 과묵하고 정직합니다. 상대방에게도 정직성을 요구합니다. 허풍을 떠는 사람은 내색을 하진 않지만 무척 싫어합니다. 핀란드 바이어는 말수가 적습니다만 관심이 적은 것이 아니라 수줍기 때문입니다. 핀란드 사람들은 사교적인 모임에서도 오랫동안 아무 말없이 편하게 서로 앉아있는 것을 좋아합니다. 당황할 필요는 없습니다.
핀란드 들여다보기

  • 이병문
  • 매일경제신문사, 2006-7-24

이런 걸 볼땐, 내 영혼은 핀란드인이 아닌가 생각도 든다.

2의거듭제곱의 첫째자리수와 벤포드의 법칙

Friday, July 17th, 2009

2의 거듭제곱의 첫째자리 숫자는 어떻게 분포되어있을까 따져보았다.

2부터, 2의 제곱, 2의 세제곱, ..., 2의 100000제곱까지, 100000의 숫자에 대해 따져보면, 첫째 자리수가
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} 인 숫자는 각각
{30103, 17610, 12493, 9691, 7919, 6695, 5797, 5116, 4576} 개씩 있다.

벤포드의 법칙이 예측하는 확률분포는
{0.3010, 0.1761, 0.1249, 0.09691, 0.07918, 0.06695, 0.05799, 0.05115, 0.04576} 이다.

우왕ㅋ굳ㅋ

수학노트 벤포드의 법칙

공돌이 미분방정식 풀기(2) : 치환적분과 미분형식

Sunday, July 12th, 2009

이렇게 해도 되는것임? 라는 질문을 던진 공돌이 미분방정식 풀기 에서 이어진다. 


그런데 사실 이것이 처음이 아니다. 아마 내 기억에는 수학의정석에서도 치환적분에서 이런 표현을 쓰지 않았나 생각이 든다.


y가 x의 함수라면 치환적분의 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx


예)

\int \sin^2x \cos x\,dx 를 구하라.


y=\sin x

dy=\cos x\,dx

\int \sin^2x \cos x\,dx=\int y^2 dy=\frac{1}{3}y^3+C=\frac{1}{3}\sin^3 x+C



이제부터 y가 x의 함수일때, dy 라는 표현은 dy=y'(x)dx 라고 이해한다.

이러한 표현이 정당화되는 이유는 치환적분의 공식이 참이기 때문이다. (치환적분의 공식 ~ 합성함수의 미분에 관한 연쇄법칙이다)


사실 우리가 적분을 할때는 함수 f(x) 가 필요한 것이 아니라 f(x)dx 와 같은 것이 필요하다. 

그러므로  f(x)dx와 같은 녀석들에게 따로 이름을 붙일 필요가 있겠다.

그래서 좀더 일반적으로 이러한 녀석들을 미분형식(differential form) 이라 한다. (일반적인 정의에 대해서는 나중에 따로...)

그리고 미분형식에는 적분기호 \int를 씌울수 있다. 


기억하자. 적분기호는 함수에 씌우는 것이 아니라 미분형식에 씌우는 것이라고.

\omega 가 미분형식이라면, \int \omega 와 같은 표현은 올바른 표현인 것이다. 


미적분학에의 핵심적인 것으로 스토크스의 정리가 있는데, 이는 다양한 미분 적분 공식들의 일반화이기 때문이다. 그리고 스토크스정리는 미분형식을 써야 다음과 같이 아름답게 표현할 수 있다.

\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega


이제 다시 처음의 질문으로 돌아가면,

\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}

라는 표현에는 문제가 없다. 그 다음음

{g(y)}{dy}={f(x)}{dx}

라는 표현은 미분형식들 사이에 성립하는 다음과 같은 등식이라고 할 수 있다. 

{g(y)}{dy}=g(y(x))}y'(x)dx=f(x)dx

그리고 이 녀석은 뜯어보자면, 

y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y(x))}

와 같은 표현인데, 단지 함수 사이의 등식인가 미분형식 사이의 등식인가 차이가 있을 뿐이다.

마지막으로

\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}

\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx=\int f(x)dx

이므로 결국 모든 것은 치환적분의 공식에서 기원했음을 알 수 있다.


결론적으로 말하자면 변수분리의 방식으로 미분방정식을 풀때, {g(y)}{dy}={f(x)}{dx} 라고 해도 되는 것임? 이렇게 묻는다면 그렇게 해도 된다라고 말할 수 있다.

이것이 미분형식들 사이의 등식이며 dy=y'(x)dx 임을 받아들이고, 미분형식에는 적분기호를 씌울수 있다는 사실을 안다면.

공돌이 미분방정식 풀기

Saturday, July 11th, 2009

미분방정식을 처음배우면, 아래처럼 변수분리로 해결하는 경우가 있다.


\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}

{g(y)}{dy}={f(x)}{dx}

\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}


그 다음 양변을 적분한뒤, y를 x의 함수로 쓴다.

이렇게 해도 되는것임? 하는 것이 질문인데, 솔직히 이거 정말 궁금했다 하시는 분.. 손?