거듭제곱, 피보나치 수열과 벤포드의 법칙

거듭제곱과 벤포드 법칙
  • 2부터, 2의 제곱, 2의 세제곱, …, 2의 100000제곱까지, 100000의 숫자에 대해 따져보면, 첫째 자리수가 {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 인 숫자는 각각 {30103, 17610, 12493, 9691, 7919, 6695, 5797, 5116, 4576} 개씩 (몇개 오차있을 수 있음. 확인필요) 있다.

  • 아래에서 사용하는 \log 는 상용로그임

  • 가령 여섯자리수인 2의 거듭제곱의 첫째자리가 1인 경우는 자연수 n에 대한 다음 부등식을 풀면 얻어진다

    100000\leq 2^n < 200000

    \log 100000 \leq n \log 2 < \log 2 + \log 100000

    \frac{5}{\log 2} \leq n < \frac{\log 2}{\log 2} + \frac{5}{\log 2}

  • 마찬가지 방법으로 여섯자리수인 2의 거듭제곱의 첫째자리수가 p인 경우는 다음 부등식을 풀면 얻을 수 있다.

    \frac{\log p}{\log 2}+\frac{5}{\log 2} \leq n < \frac{\log (p+1)}{\log 2} + \frac{5}{\log 2}

  • 여섯자리수인 2의 거듭제곱의 첫째자리수가 p인 경우는 길이가

    \frac{\log(p+1)-\log p}{\log 2}=\frac{\log (\frac {p+1}{p})}{\log2}

    인 구간에 있는 자연수의 개수라고 생각할 수 있음.

  • 따라서 여섯자리수인 2의 거듭제곱 중에서 첫째자리수가 p인 경우의 비율은 다음과 같음.

    {\log (\frac {p+1}{p})

  • 여섯자리수뿐 아니라 더 일반적인 경우에도 첫째자리가 p의 경우에도 그 비율은 위와 같다는 것을 알 수 있음.

  • 따라서 2의 거듭제곱의 첫째자리수는 벤포드의 법칙을 따르게 됨.

  • 2의 거듭제곱뿐 아니라 일반적인 수의 거듭제곱도 벤포드의 법칙을 따르게 됨.(단 예외적인 경우도 있음. 10의 거듭제곱인 경우)

피보나치 수열과 벤포드의 법칙

피보나치 수열의 여러가지 성

추후 업데이트는 다음 항목을 참조
벤포드의 법칙

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