학부수학의 뼈대 (2) : 원 위에 각도함수 정의하기

먼저 원위에서 한바퀴를 돌면 (라디안) 만큼의 각의 변화가 있다는 사실은 고딩 1학년 정도에서 배울 것입니다. 이에 대해서는 라디안 항목을 참고하시기 바랍니다.

단위원의 모든 점 (x,y)에서 연속적으로 정의된 각도함수 의 값 를 정의하는 일이 가능한지 생각해 봅시다.

alg2_radians.gif

일단 시작을 위해 점 (1,0)에 일단 각도함수의 값을  이라고 정의를 해봅시다. 위의 그림대로 원위의 점을 따라 조금씩 반시계 방향으로 이동하면서 각도함수를 연속적으로 정의해 나갈수가 있을 것으로 보입니다. 하지만 문제는 원의 한바퀴를 돌아서 다시 같은 점에 돌아왔을 때 발생합니다. 이미 으로 정의를 해놓은 마당에, 반시계 방향으로 원주 한바퀴를 돌면서  의 정의를 확장해 가다보면, 각도함수를 연속함수로 정의하기 위해서는 라고 정의를 해야하는 문제에 봉착하게 됩니다.

결론은 단위원의 모든 점 (x,y)에서 연속적으로 정의된 각도함수  를 정의하는 것은 불가능하다는 것입니다. 그럼에도 우리는 연속적으로 계속 확장이 가능한 각도함수 를 잘 이해할 수 있을 것 같다는 듭니다. 이 문제를 어떻게 해결해야 할까요?

함수는 분명히 있는데, 정의역이 원이 아니다. 그렇다면 도대체 정의역이 무엇이란 말인가? 이 문제에 대해 생각을 하다보면, 우리는 원 위에 놓여 있는 또다른 기하학적 공간을 발견하게 됩니다. 이것은 다름 아닌 직선입니다.

학부수학의 뼈대 에서 보여드린 바로 그 그림인 것이지요.

원위에서 각도함수를 정의하려다보면, 우리는 그것이 불가능함을 알게 되었습니다. 원이라는 공간과 거기서 국소적으로 확장 가능한 함수가 만나, 우리는 원위에 펼쳐진 새로운 공간을 발견하게 됩니다. 결론적으로 각도함수가 정의되어 있는 '올바른' 공간은 원이 아니라, 원을 무한번 둘둘 감고 있는 '직선'을 발견하게 되는 것입니다.

간단해 보이지만 중요한 작업이었으니 잘 숙지하도록 합시다. 오늘은 일단, 얘기된 내용과 관련된 2분20초 동영상으로 마무리합니다. 대수적 위상수학이라는 과목의 covering space 라는 개념에 대한 동영상입니다.

5 Responses to “학부수학의 뼈대 (2) : 원 위에 각도함수 정의하기”

  1. groo says:

    동영상이 안보여요 (..)

  2. pythagoras says:

    음..님의 질문
    피타고라스님께서 예전에 다루셨던 주제(학부수학의 뼈대인가요?) 중에서 각도함수를 가지고 설명하신 부분이 있지 않습니까? 거기서 정의역을 원으로 해서는 연속적인 각도함수가 성립할 수가 없다는 그런 내용였던 걸로 아는데요.

    제 생각에 성립하지 않는 이유는, 정의역의 원소에 대한 함수값은 하나만 대응될 수 있는데, f(1,0)이 0 뿐만 아니라 2파이 등 너무 많은 값을 가지게 되어 함수가 성립될 수 없기 때문이라 이해했습니다.

    제 생각이 맞는지 잘 모르겠습니다만, 어쨌든 맞다는 가정하에 생각해 보면 제 질문은, 원대신 원주위를 무한히 회전하는 선으로 상상한 것 까지는 제 생각에도 뛰어난 발상 같은데.. 그래도 함수가 성립할려면 (1,0) 자리를 원을 한바퀴 돌 때마다 다르게 표기해야하는게 아닌지 싶은데... 그건 어떻게 표기를 할까요? 아니면 굳이 표기할 필요가 없는 걸까요? 즉, 정의역이 원이 아니라 원 주위를 무한히 도는 선으로 규정한 것은 어디까지나 수학적 엄밀성을 위한 것인가요?

  3. pythagoras says:

    음../ 잘 이해하셨습니다. 원대신 원주위를 무한히 회전하는 선을 상상하는 것이 바로 universal covering의 개념임을 미리 말씀드리며... 각도함수라는 것의 올바른 정의역은 원이 아니라, 직선이 됩니다. 왜 직선이 되는지는 http://pythagoras0.springnote.com/pages/3780405 페이지에서 수식을 써서 이어가도록 하지요. 질문은 이곳에서 계속하시면 됩니다.

  4. 음.. says:

    뭔가 질문을 드리기에는 수학에 대해서 아는 것이 전무한지라(복수수에 대해서도 라디안에 대해서도.. 그런데도 감히 질문드려 죄송합니다_ _), 사실 정말 감사한 답변에 대해서 더 드릴 말씀은 현재로서는 없을 거 같습니다. 고생하신 보람조차 느낄 수 없게 만든 거 같아 죄송스럽고 또 고맙습니다.

    p.s: 각도함수란 실수에서 실수로 가는 함수라는 말에서 뭔가 좀 뚫린 기분입니다. 파이 하면 반사적으로 180도로 이해하고 있다보니, 파이 또한 3.14...라는 실수(실수 맞..지요?^^*)라는 사실을 놓치고 있었던 거 같습니다. 최소한 님 덕분에 제가 가진 의문은(각도함수가 함수가 맞나?) 좀 풀린 거 같습니다.

  5. [...] 원 위에 각도함수 정의하기 January 22nd, 2010 | Category: Uncategorized [...]