비유클리드 기하학 입문(6) : 세가지의 2차원 기하학

지난 글
비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈
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비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion)
비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번…

연재가 한참만에 재개되네요. 현재 이 블로그의 모토는 '딴나라당 박멸하고 수학문명을 건설한다'인지라, 딴나라당의 기세가 절정인 지금과 같은 때에는 시사 및 정치에 관련된 글들이 많을 수 밖에 없음을 양해바랍니다. 저 역시 편안한 마음으로 오로지 수학만 생각하며 수학 관련글만 쓰고 싶은 마음이 꿀뚝같지만, 딴나라당 박멸없이 수학문명의 건설은 불가능하다는 것을 이 블로그의 독자여러분들은 잘 알고 계시리라 믿습니다. 정치가 안정되어야 문화도 발전할 수 있다는 사실을 꼭 기억해주시면 좋겠습니다.

지난 글에서는 다음과 같은 그림을 보여드렸습니다. 비록 우리의 눈에는 그 크기가 달라 보이지만, 쌍곡기하학의 눈으로 본다면, 아래의 삼각형들은 모두 크기가 같고 모양도 똑같다는 사실을 말씀드렸습니다. 그것은 '반전'이 쌍곡기하학에서 거울대칭과 같은 역할을 하기 때문입니다.

그럼 이제 2차원 기하학에 대한 정리를 한번 해보도록 하겠습니다.

2차원의 기하학은 크게 다음과 같은 세가지로 분류됩니다.

1. 구면기하학 (Spherical geometry)
2. 평면기하학 (Euclidean geometry)
3. 쌍곡기하학 (Hyperbolic geometry)

구면기하학
Td Oh Ih
*332 *432 *532

( 3 3 2)

(4 3 2)

(5 3 2)

그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각

라는 것을 의미합니다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,

가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 되는데, 이것은 곡면의 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상입니다. 구면삼각형의 넓이를 구하는 방법도 예전에 쓴 바가 있습니다. 구면삼각형의 넓이: Girard-Harriot 의 정리를 참고하시기 바랍니다.

위에 나온 삼각형의 각도를 나타내는 숫자 (l,m,n) 은 사실 다음과 같은 부등식의 (1보다는 큰) 자연수 해로써 얻어집니다.

부등식을 풀어보면 (2,2,2), (2,2,3), (2,2,4), ..., (2,2,n), ... 과 같은 녀석들이 더 존재합니다. 다음과 같이 생긴 삼각형들로 만들어지는 그림입니다.

얘네들은 크게 재미있는 애들은 아니고, 전에 보여드린 녀석들이 아주 특별한 녀석들입니다. 잘 들여다보면, 위의 세가지 그림은 정사면체, 정육면체와 정팔면체, 정십이면체와 정이십면체 세 가지의 대칭을 통해서 얻어졌다는 것을 관찰할 수 있습니다.

아무튼 위의 그림들은 모두 똑같이 생긴 삼각형들로 구면을 겹치지 않고 빈틈없이 채웠다는 것을 눈여겨 보시기 바랍니다. 이러한 것을 테셀레이션이라고 부릅니다.

이제 이에 대응되는 평면기하학과 쌍곡기하학의 그림들을 보겠습니다.

평면기하학 쌍곡기하학
p4m p3m p6m
*442 *333 *632 *732 *542 *433

(4 4 2)

(3 3 3)

(6 3 2)

(7 3 2)

(5 4 2)

(4 3 3)

유클리드 평면을 삼각형 한 조각의 각 변에 대한 거울대칭을 반복해서 모든 평면을 겹치지 않고, 빈틈이 없이 덮는 방법은 단 세 개만 존재합니다. (4 4 2), (3 3 3), (6 3 2) 삼각형들이 그것입니다.

위에서 했던 것을, (6 3 2) 삼각형에 적용해보면,

가 되어 삼각형이 세 각의 합이 180도가 됨을 확인할 수 있습니다.

아무튼 평면기하학의 삼각형에 의한 테셀레이션이 세 가지라는 사실을 중학교 수학에서 배우는지 안 배우는지 기억이 잘 안나는데, 연필을 들고 한번 직접 풀어보시기 바랍니다. 이것은 본질적으로 다음과 같은 식의 자연수해를 구하는 문제입니다.

쌍곡기하학에서도 예를 들어 하나 해보면, (7 3 2) 삼각형은 그 세 각이 각각

이므로

에서 보듯이, 세 각의 합이 180도보다 작다는 것을 볼 수 있습니다. 하나 주의해야 할 것은, 평면기하학의 테셀레이션은 단 세가지만 존재하지만, 쌍곡기하학은 그 가능성이 무한합니다. 그 이유는 이제 다음과 같은 부등식의 자연수해를 통해 설명이 가능하겠습니다.

유클리드 기하학만 안다면, 이렇게 세가지의 2차원 기하학을 하나의 눈으로 바라볼 때 얻을 수 있는 구조적인 통일성을 절대 느낄 수 없을 것입니다. 이 서로 구분된 세가지 2차원 기하학에는 지금까지 말씀드린 수준을 넘어서는 또다른 거대한 수학의 세계가 존재합니다만은, 오늘 다 말씀드릴수는 없을 것 같네요.

그러면 이제 맨처음 애니메이션으로 띄워놓은 그림의 삼각형들은 각도가 어떻게 되는지 따져보는 것을 숙제로 내드리며, 오늘은 여기서 마치도록 하겠습니다.

4 Responses to “비유클리드 기하학 입문(6) : 세가지의 2차원 기하학”

  1. mathdr says:

    1/7 + 1/2 + 1/3 = 41/42 < 1 군요..
    수학포스팅 재밌게 보고 있는 일인..

  2. mathdr says:

    유클리드 평면을 똑같이 생긴 삼각형으로 겹치지 않으면서, 빈틈이 없이 덮는 방법은 단 세 개만 존재합니다

    이 부분이 이상한데요? . . . 대칭이동으로 평면을 덮는 경우는 세 개 뿐이겠지만 . . .

  3. pythagoras says:

    mathdr/ 좀 모호하네요. 약간 고치도록 하겠습니다.

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