비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion)

지난 글

비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈

비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간
비유클리드 기하학 입문(3) : 콕세터가 들려주는 에셔

오랜만에 시리즈를 이어가다보니, 그동안 한 내용을 다 잊지 않았을까 생각이 되는군요. 핵심만 간단하게 요약을 하겠습니다.

유클리드기하학은 무한한 평면에서 벌어지며, 두 점의 최단거리 역할을 하는 직선이 그 기하학의 가장 기본이며 핵심이 됩니다. 우리가 지금 공부하고 있는 비유클리드기하학의 대표 '쌍곡기하학'에서는, 무한한 평면의 역할을 '원판'이 대신하고, 직선의 역할을 '원판과 수직으로 만나는 원들의 원판 안에 놓인 부분'들이 맡게 됩니다.

그러니까 위의 그림에 나타나 있는 원의 일부들은 지금 공부하고 있는 기하학의 직선 역할을 합니다.

이제 오늘은 새로운 개념을 하나 배우도록 할텐데요. '반전'(inversion)이라는 녀석입니다.

유클리드기하에서는 직선이 하나 주어져 있으면, 선대칭이라는 개념을 생각할 수 있습니다. 바로 다음과 같은 그림처럼 말이죠.

reflection.jpg

위쪽에 있던 점들은 '반사'(reflection)라는 작업을 통해서, 선 아래쪽에 놓여 있는 점들로 옮겨지게 됩니다. 삼각형을 이루고 있던 점들은 '반사'후에도 그 모습이 똑같이 유지됩니다. 왜냐하면, '반사'라는 작업은 점들간의 거리를 보존하기 때문이죠.

그럼 이제 우리가 공부하려는 '반전' 이라는 것은 무엇인가하니, 직선 대신에 '원'이 하나 주어져 있는 상태입니다. 그리고 위의 그림에서처럼 직선의 위아래가 나누어져 있는 것이 아니라 이제는 '원'의 내부와 외부가 원에 의해 나누어져 있는 겁니다.

직선에 대칭이 되도록 하는 '반사'는 직선에 대칭되는 점들을 어디로 서로 보내주는지 초딩시절부터 이미 잘 알고 있을 겁니다. '반전'이란 그럼 안과 밖의 점들을 어떻게 서로 뒤바꾸어 주는 것일까요?

120px-inversion_illustration1.png

그럼 여기서 다시 초청연사 '콕세터'교수님의 2분짜리 강의를 들어보도록 하겠습니다.

반전의 정의가 잘 이해되지 않는다던가, 질문이 있으시다면 계속 진도나가기 전에 코멘트를 남겨주세요. 이제 이 '반전'의 성질에 대해서는 다음편에 계속 공부하도록 하겠습니다...

3 Responses to “비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion)”

  1. babocherub says:

    upper half plane에서도 이 놀이를 해 주시면서 modular form도 이야기를 해 주세요.=)

  2. pythagoras says:

    babocherub/ 한번에 너무 많이하면, 블로그 밑천이 떨어지니, 요건 조금 속도조절을 해야합니다 ㅋ 하지만 진도가 나가다보면, 언젠가 등장할 날이 올 것이라는 건 약속을 드리겠습니다... ㅋ

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