펠릭스 클라인 : Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree

20세기 수학의 궤도를 제시한 힐버트의 역사적인 1900년 국제수학자대회 연설의 초반부에는 이러한 언급이 있다. (Mathematical Problems, Lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900 By Professor David Hilbert)

But it often happens also that the same special problem finds application in the most unlike branches of mathematical knowledge. So, for example, the problem of the shortest line plays a chief and historically important part in the foundations of geometry, in the theory of curved lines and surfaces, in mechanics and in the calculus of variations. And how convincingly has F. Klein, in his work on the icosahedron, pictured the significance which attaches to the problem of the regular polyhedra in elementary geometry, in group theory, in the theory of equations and in that of linear differential equations.

세르의 Extensions icosa'edriques (OEuvres Collected Papers, Vol. III, 1972-1984, 550-554) 의 마지막 부분에는 이러한 언급이 있다.

I'll stop here. But I am aware that the remarks above barely scratch the subject : there is so much more in Klein’s book, and in Fricke’s! Invariants, hypergeometric functions, and
everywhere, a wealth of beautiful formulae!

여기서 언급되고 있는 책이 바로 펠릭스 클라인의 책 Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree 이다. 정이십면체와 5차 방정식이 제목에 등장하고 있는데, 이들 외에도 invariant theory, hypergeometric differential equations 같은 19세기 수학의 높디 높은 성취물들이 모두 함께 정이십면체를 주제로 하여 펼쳐지는 멋진 책이다. 내 말을 믿지 말고, 힐버트와 세르의 말을 들으세요.

1884년 5월 24일로 기록되어 있는 서문의 날짜를 보았다. 쓰여진지 100년도 더 지난 책인데, 역사를 공부하는 것도 아니고 이런 걸 읽을 필요가 있을까 물을 수 있겠다. 그에 대한 답은 나도 확실히 모른다. (어쨌든 힐버트와 세르는 적어도 읽었다) 그냥 나는 오래전부터 이 책을 읽을 수 있게 되기를 바랬다. 학부생 때 이 책을 집어들었을 때는 사실 눈에 들어오는 것이 없어 그냥 밀어뒀던 기억이 있다. 내용도 어려웠거니와, 쓰여진 지 오래된 책은, 그 형식에서도 요즘 책들과는 또 다른 점들이 많이 있다. 어쨌든 한참이 지난 오늘 다시 이 책을 펼쳐보니, 한 100페이지까지의 내용을 파악한 바로는, 거의 다 이해할 있는 것 같아서, 조금 기분이 좋아졌다.

이 책에서 다루고 있는 것은 아니지만, 책을 읽는 도중 등장한 하나의 공식을 보는 순간, Kleinian singularity 에 대한 Mckay correspondence 를 좀더 일반화할 수 없을까 하는 문제를 생각해 보게 됐다. 처음에는 뭔가 있을 것 같다는 희망이 컸었는데, 시간이 지날수록 자꾸 개꿈인 것 같다. 내일 좀더 생각해 봐야겠다.

어쨌든, Klein의 책을 읽다가 Kleinian singularity와 관련된 문제에 대해서 생각을 하게 된다는 것이 신기했다. 그러고보니, Kleinian singularity 라는 말 자체가 이 책에서 기원한 듯 하다. 이런 경험을 할 수 있게 해준다는 것이 나는 고전을 읽는 장점이라고 생각한다. 이러한 책들은 그냥 교과서와는 다르게, 어디를 향해 걸어가야 하는지를 말해준다고 나는 느낀다. 그리고 그것은 아마도 책에 혼이 담겨 있기 때문일 것이다.

이런 훌륭한 내용들을 좀 현대적인 버전으로 새로 써서, 학부생들에게 가르친다면, 그제서야 좀 제대로 된 대학의 수학교육이 이루어질수 있지 않을까. 지금처럼 학부생 교육에 철학도 없이, 각 과목들만 무책임하게 가르치는 식으로는, 수학자를 키우기는 커녕 수학과를 나오고도 수학을 전혀 모르는 사람들만 만들어 졸업시킬 뿐이라고 본다. 대학에서 수학을 배웠다고는 하는데, 타원함수도 모르는 애들을 키워서 뭐할거냐고.

아무튼 결론은 이 책은 (물론 나머지도 마저 봐야겠지만) 훌륭한 책이라는 것, 그리고 학부생들은 이런 책들을 이해하는 것을 목표로 공부의 방향을 잡아보면 어떨까 생각이 든다. 나의 견해로는, 학부생들도 (지도를 잘 받는다면) 충분히 이해할 수 있다. 물론 문제는 교수들이 지도를 잘 안 (못?) 해줄 거라는거... 책 쓰여진게 1884년이라니, 우울한 코리아의 현실이 생각나 또 한숨이 나온다.

2 Responses to “펠릭스 클라인 : Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree”

  1. 애기똥풀 says:

    피타고라스님께서 그 역할을 감당하시는 겁니다 (←응?)

  2. pythagoras says:

    애기똥풀/ ㅋㅋㅋㅋ 내가 그러면 애기똥풀은 뭐할꺼임?