비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간

공기를 진행하던 빛이 물을 만나면, 빛은 그 진로를 바꿉니다. 스넬의 법칙으로 기술되는 빛의 굴절 현상.

빛은 왜 똑바로 가지 않고, 그 진로를 바꾸었을까? 왜냐하면 빛의 속도는 물에서보다는 공기에서 더 빠르기 때문입니다. 똑바로 가는 것보다, 차라리 좀 돌아가더라도, 공기에서 먼 거리를 가는 것이, 더 빠른 시간 안에 목표지점에 도달하기 위한 좋은 전략이 됩니다.

이 부분에서 관점을 조금만 바꿔봅시다. 빛의 속도가 변한다는 생각을 할 것이 아니라, 속도는 그냥 일정하다고 하는 것입니다. 하지만 우리가 보기에는, 똑같이 보이는 거리라고 할지라도, 공기에서의 거리와 물속에서의 거리를 재는 방식이 다르다는 것이죠. 똑같은 길이로 보일지라도, 빛이 느끼기에는 공기에서보다 물에서의 길이가 더 길다고 상상해 보는 것입니다. 이런 방식으로 생각해도 빛이 굴절하는 이유를 설명할 수 있을 것입니다. 그리고 이 경우에는, 빛의 궤적은 같은 시간에 더 많은 거리를 움직이는 전략이 됩니다.

(주의 : 저는 솔직히 빛이 왜 굴절하는지 물리적인 이유를 모릅니다 -_-. 빛의 굴절을 끌어들인 이유는 이야기를 좀더 친숙한 상황에서 풀어가기 위한 장치에 불과하니, 이 점 참고하시기 바랍니다)

어쨌든 이 사실들을 이해했다면, 여러분은 이제 비유클리드 기하학으로 가는 큰 발걸음을 내딘 것입니다.

이제 공기와 물 사이에서 단 한번의 굴절이 일어나는 것이 아니라, 매질들이 여러번 바뀐다면, 이 굴절의 법칙을 반복 적용하여, 빛이 다음과 같은 경로를 따르게 될 것이라 생각할 수 있습니다.

refraction1.JPG

그렇다면 이제 한걸음을 더 내딛어, 매질이 만약에 연속적으로 변한다고 가정한다면, 빛은 아마도 직선이 아닌 곡선의 궤적을 그릴 것입니다. 그리고 그 변화의 규칙에 따라서, 어쩌면 다음과 같이 원의 궤적을 그릴지도 모를일이죠.

refraction2.JPG

그리고 만약에 아래로 갈수록, 거리가 엄청나게 길어진다면, 마지막 순간에는 매질과 빛의 각도가 직각이 되어버리겠죠.

위의 그림을 마음에 품고, 이제 쌍곡기하학의 세계로 들어갑니다. 원판이 있습니다. 마치 위에서 본 연속적으로 변하고 있는 매질처럼, 이 원판의 세계에서는 가장자리로 갈수록, 우리 눈에는 똑같이 보이는 길이가 점점더 길어지고 있습니다.(아직 익숙하지 않다면, 빛의 속도가 가장자리로 갈수록 느려진다고 생각하셔도 되겠고요)

거리를 재는 방식은 원래 수식으로 주어져야 하고, 바로 이 수식을 통해 얻어진 미분방정식을 풀어서, 빛의 궤적을 구하는 것이 학부생들이 미분기하를 배울때, 고통을 느끼는 과정이 되겠습니다. 그러나 위와 같은 설명으로도 이미 중요한 아이디어는 많이 전해졌다 말할 수 있습니다. 우리는 미적분없이, 미분방정식을 풀었습니다!!!!!

그리하여 이 원판위에 펼쳐지는 쌍곡기하학의 세계에서는, 유클리드 기하학에서 직선의 역할을, 다음 그림과 같이 원판의 가장자리와 수직으로 만나는 원들이 맡게 됩니다. 물론 원판의 중심을 통과하는 직선도 여기에 포함되구요.

그러니까 아래와 같이 원판위에 두점 P와 Q가 주어졌을때, 이 새로운 기하학의 세계에서 두 점을 지난 직선의 역할을 하는 것이 무엇인지를 묻는다면, 다음과 같은 그림으로 답해야 합니다.

geodesic.JPG

원판에 수직으로 만나는 원들 중에서 P와 Q를 동시에 지나는 원판에 놓여 있는 원의 일부가 바로 측지선이라 불리는 이 새로운 기하학의 직선이 되는 것입니다.

제 희미한 기억이 맞다면, '파인만의 또 다른 물리이야기' 중 '제6강 휘어진 공간'도 상대성이론을 설명하기 위한 준비과정으로 이와 비슷한 비유클리드 기하학에 대한 직관적인 설명을 할 것입니다. 하지만 '스넬의 법칙'으로 설명을 시작하는 것은 아마도 아직 세상에 없지 않을까 생각이 듭니다. 왜냐면, 이건 오늘 아침에 제가 생각해낸 방법이거든요 :)

이제 이 세계의 직선을 배웠으니, 다음번에는 각도 재는 방법과 삼각형에 대해 공부하도록 하겠습니다.

4 Responses to “비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간”

  1. 애기똥풀 says:

    기대하고 있습니다 '-'

  2. 살림 says:

    기가 막히게 멋진 설명이네요..

  3. pythagoras says:

    살림/ 별로 그런것 같지는 않았는데... 훗 암튼 감사~ ^^

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