평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 그 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.
문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 겠습니다.
북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.
대원둘의 각도가 [math]\theta[/math]로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 [math]2\theta[/math]가 됩니다. (넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 구면의 넓이는 [math]4\pi[/math]라는 사실을 이용하면 됩니다) 이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.
위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.
이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.
세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.
따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = [math]2\pi[/math] (= 구면의 절반의 넓이)그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 [math]A+B+C - \pi[/math]
그리고 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다! 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요~~~~~!!!!!
이거... "이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다." 부분이 거의 "Then a miracle occurs ... " 수준의 전개인데요? 물론 그부분은 저같은 보통사람이 이해하기는 힘들어서 페스하신거라고 믿습니다.
ㅎㅎ/ 설명이 좀 짧았나 봅니다. 삼각형의 하나의 각을 보면, 마주보고 있는 두개의 손톱 모양이 있죠? 흰색 하나, 회색 하나. 그러므로 회색손톱모양 세개가 구면의 절반을 덮고 있는 것입니다~ ^^
그림은 무엇으로 그리셨나요 '-'
이런 그림을 보면 항상 신기합니다 ㅇㅅㅇ
ㅎㅎ/ 저도 거기서 깜짝 놀라서 눈을 크게 뜨고 한참 보니까 칠한 쪽이랑, 칠해지지 않은 반대쪽이 완전히 똑같이 생겼더라구요. ㅋ
애기똥풀/ http://images.google.com/images?um=1&hl=ko&lr=&rls=GGGL%2CGGGL%3A2006-35%2CGGGL%3Ako&q=spherical+triangle&btnG=%EC%9D%B4%EB%AF%B8%EC%A7%80+%EA%B2%80%EC%83%89 를 애용하시면 되겠습니다
야심한 시각에 다시 읽어보니
비로소 이해가 되네요.
척보고 알지는 못해도
뒤 늦게 나마 안 것으로도
흐믓하다는...^^
살림/ 이해가 되신다니 저도 기쁘다는~ ㅋ
감사합니다 내일 논술이었는데 많은 도움이 되었습니다.
이렇게 명료하게 설명해주시다니!!
호영/ 합격하면 한턱내시기 바랍니다
우와! 이해가 정말 잘되네요. 감사합니다.