142857과 군론의 만남(6) : 군론의 흔적

지난 군론입문 시리즈에서 들었던 군의 예는 {차렷, 좌향좌, 뒤로돌아, 우향우} 였다. '좌향좌'라는 원소는 이 군을 공부하는데 유용한 녀석인데, 그 이유는 '좌향좌'만으로 이 군의 모든 원소들을 만들어낼 수 있기 때문이다 .

차렷 = 좌향좌 0번
좌향좌 = 좌향좌 1번
뒤로돌아 = 좌향좌 2번
우향우 = 좌향좌 3번

임을 생각하면, {차렷, 좌향좌, 뒤로돌아, 우향우}의 군의 구조는 {0,1,2,3}라는 집합에 주어진 더하기 구조와 똑같다. 여기서 더하기 구조란 mod 4 로 생각한다. 예를 들자면 2+2 = 0, 3 + 2 = 1 이라는 얘기다. 따라서 이야기를 앞으로 {0,1,2,3}에 주어진 더하기로 대신할 수 있다.

 

+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2

이를 통해 보면 {0,2}는 그 자체로 군을 이룬다는 것을 알 수 있고, 나머지 원소들 {1,3}은 군을 이루지는 않지만, 1+1=2,1+3=0,3+3=2 가 되어, 두 원소끼리 계산하면 모두 다시 {0,2} 속으로 들어감을 볼 수 있다. 이를 간략하게 요약하면,

파랑+ 파랑 = 파랑
파랑+ 빨강 = 빨강
빨강+ 파랑 = 빨강
빨강+ 빨강 = 파랑

이제 다시 지난 글에서 등장한 녀석들로 돌아가자.

76923 × 1 = 076923
76923 × 2 = 153846
76923 × 3 = 230769
76923 × 4 = 307692
76923 × 5 = 384615
76923 × 6 = 461538
76923 × 7 = 538461
76923 × 8 = 615384
76923 × 9 = 692307
76923 × 10 = 769230
76923 × 11 = 846153
76923 × 12 = 923076

076923, 153846에서 눈을 돌려, {1,2, ..., 12}를 보자.
먼저 {1,2, ..., 12}은 곱하기 mod 13 에 대하여 군을 이룬다. 그리고 {1,2, ..., 12} 를 위에서 오른쪽에 나타난 색깔에 따라, 두 개의 집합, {1,3,4,9,10,12} {2,5,6,7,8,11} 으로 나누자. 곱셈표는 다음과 같이 주어진다.

 

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11
3 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10
4 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9
5 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8
6 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7
7 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6
8 8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5
9 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4
10 10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3
11 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2
12 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

{1,3,4,9,10,12}는 그 자체로 곱셈에 대하여 닫혀 있으며 군을 이룬다는 것을 볼 수 있다. 그리고 역시 다음과 같은 표를 만들 수 있다.

파랑x파랑 = 파랑
파랑x빨강 = 빨강
빨강x파랑 = 빨강
빨강x빨강 = 파랑

두 집합 {1,3,4,9,10,12} {2,5,6,7,8,11} 은 왜 서로 나누어져 있는 것일까?

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2 Responses to “142857과 군론의 만남(6) : 군론의 흔적”

  1. 뷁군 says:

    {2^0, 2^1, ... , 2^11}이 완전잉여계인데 이때
    파랑은 2^짝수, 빨강은 2^홀수가 되어서 결국 두 수의 곱이 2 위에 있는 지수의 합에 대한 연산으로 바뀌니까 그렇게 되는 것 같군요;;

  2. pythagoras says:

    뷁군/ 계산 확인은 안해봤지만, 다 이해하셨다고 생각합니다. 하산하시라는...