Archive for September, 2008

EBS 다큐 ‘피타고라스 정리의 비밀’ 재밌네요

Tuesday, September 30th, 2008

잘들 보고 계신지 모르겠어요. 저도 부지런히 챙겨보고 있습니다. 수학다큐의 가능성을 보여주고 있습니다. 성의있게 잘 만든것 같더군요.

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사모스섬 피타고리안 항구에 직각삼각형의 한변이 되어 서있는 피타고라스 동상.

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플라톤과 아리스토텔레스를 제치고, 클로즈업되는 순간

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정직했던 사유의 비극적 결말

가장 감동적인 장면은 뭐니뭐니해도, 엔딩부분에...

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감동의 눈물이...

마지막 3부도 기대된다는...

종종 언급했던 타원이라던가, 자연이나 예술속에서 발견할 수 있는 나선 같은 것을 주제로 삼아도 좋은 교양 수학 다큐 소재가 될법한데...

Eres Tu, '그대 있는 곳까지'

Tuesday, September 30th, 2008

'그대 있는 곳까지'라는 노래를 고등학교 시절 배웠고, 그때부터 이제껏 아주 좋아했던것 같다. 간절히도 전하고 싶은 그 마음을 전할 길이 없을 때, 사람은 누구나 '바람이라도 그 마음을 전해줬으면' 하고 생각하지 않을까. 나는 왠지 이런 마음을 잘 이해할 수 있을 것 같다. ㅎㅎㅎ

Mocedades의 Eres tú 를 원곡으로 하여 번안한 곡이라 했는데, 사실 가사가 너무 다른 점을 그동안은 이해할 수 없었다. 이곳에 나온 가사의 번역을 보자면, 이런 것이다.

Como una promesa eres tu
como una manana de verano.
Como una sonrisa eres tu,
asi eres tu.

약속과도 같은 당신, 당신은
여름날의 아침 같고 미소 같은 당신, 당신은
그런 사람, 당신은 그런 사람입니다.
...

가사가 참 많이도 바뀌었다. 바로 그게 좀 궁금했던 터였다. 그런데 위키를 보니, 스페인 곡의 미국버전으로 'Touch the Wind'라는게 있단다. 가사를 찾아보니, 이렇게 나온다.

...
Touch the wind. Catch my love as it goes sailing
Touch the wind and I'll be close to you
I'll be easy to find
On the winds of the morning I'll come sailing
I'll be easy to find
And, baby, I'll be close to you
...

우리말 가사가 하늘에서 뚝 떨어진 건 아니었구나. 다음은 그냥 그림이 아닌 플래시로, 한번 실행해 보시길 ㅎㅎ

(중학교 음악시간에 배우는 노래, 고등학교 음악시간에 배우는 노래))

EBS 다큐 '피타고라스 정리의 비밀'

Friday, September 26th, 2008

우와 EBS 자체 제작 다큐인가요?  '3부작 '피타고라스 정리의 비밀'라니... 느무느무 기대되고 보고 싶네요. 근데 11시 10분이면, 애들은 다 잘 시간 아닌가?

(서울=연합뉴스) 윤고은 기자 = "모든 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다른 두변의 제곱의 합과 같다"는 '피타고라스 정리'는 2천 년간 이어져 내려온 수학의 대표적인 공식 중 하나다.

EBS TV '다큐프라임'(오후 11시10분)은 29일부터 내달 1일까지 3부작 '피타고라스 정리의 비밀'을 통해 '피타고라스 정리 깨기'에 도전한다.

29일 1부 '삼각형의 흔적'에서는 '피타고라스 정리'의 기원을 찾아 피타고라스의 고향인 그리스 에게해의 사모스 섬을 찾는다.

이 섬에는 불가사의한 터널이 하나 있다. 산의 남쪽과 북쪽을 동시에 뚫어 중간지점에서 만나도록 되어 있는 것. 만약 아주 작은 오차라도 발생한다면 양쪽에서 파 들어간 사람들은 영영 만날 수 없다. 산 양쪽에서 터널을 파는 것은 삼각형의 기하학과 실제 작업에서 발생하는 오차를 줄일 수 있는 고도의 토목기술이 필요하다.

이 터널이 어떤 설계에 의해 완성됐는지 아는 사람은 아무도 없다. 다만 터널이 완성된 지 500년이 지난 후 발명가인 알렉산드리아의 헤론은 이 터널의 비밀을 삼각형과 관련해 설명했다.

30일 2부 'a²+b²=c²의 발견'에서는 '피타고라스 정리'를 둘러싼 비밀을 살핀다.

2천 년 전 피타고라스가 사원 바닥에 깔린 블록 모양을 보고 이 공식을 발견해낸 과정과 정사각형의 대각선 길이를 어떤 수로도 나타낼 수 없다는 사실을 안 후 이를 숨기기 위해 제자를 죽인 사연을 소개한다.

내달 1일 3부 '지구 위의 딱정벌레'에서는 '피라고라스의 정리'에 도전하는 사람들의 이야기를 전한다.

독일의 수학자 가우스는 1816년부터 10년 동안 독일의 여러 지역을 탐사한다. 이 탐사의 목적은 도시와 도시 사이의 거리를 측정해 그 자료를 모아 지도를 만드는 것이었다. 이 작업을 통해 가우스는 피타고라스 정리가 틀릴 수 있다는 것을 알아낸다. 그러나 그는 이 발견을 밝힐 수 없었다. 피타고라스 정리는 사람들이 2천 년 동안 진리로 믿어 왔던 것이기 때문이다.

제작진은 가우스의 발견을 근거로 실험을 통해 '피타고라스 정리'의 오류를 찾아나선다. 
(피타고라스 정리의 비밀을 찾아서)

그런데 실험으로 피타고라스 정리의 오류를 찾아나선다니, 뭔가 이해를 제대로 못한 기자가 이상한 소리를 하고 있는 것으로 믿고 싶네요. 아무튼 저도 방송이 되는대로 어둠의 경로를 찾아 헤매도록 하겠습니다. (품질보장은 못하지만) 많은 시청바랍니다. 어서어서 조중동딴 박멸하고, 수학문명을 이룩하세...

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구면삼각형의 넓이: Girard-Harriot 의 정리

Friday, September 26th, 2008

평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 그 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.

문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 겠습니다.

북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.

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대원둘의 각도가 [math]\theta[/math]로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 [math]2\theta[/math]가 됩니다. (넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 구면의 넓이는 [math]4\pi[/math]라는 사실을 이용하면 됩니다) 이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

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위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.

이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.
세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.
따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = [math]2\pi[/math] (= 구면의 절반의 넓이)

그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 [math]A+B+C - \pi[/math]

그리고 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다! 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요~~~~~!!!!!

수학에서 가장 아름다운 정리들(2) : 설문의 결과

Friday, September 26th, 2008

1990. Are these the most beautiful? Mathematical Intelligencer 12(No. 3):37-41. (pdf 보기)

그림 파일로 보고 싶다면, 아래 각 페이지를 클릭.

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설문에 응답한 76명이 만든 결과는? (응답자 수가 좀 적네요)

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결론: Euler, Euler, and Euler AGAIN!!!

설문응답자의 다양한 코멘트를 분류해서 정리했는데, 그 키워드는 다음과 같습니다.

1. 정리 그 자체가 아름다운 것인가(아니면 증명 혹은 아이디어가 아름다운 것인가)
2. 사회적 영향
3. 시대에 따른 변화
4. 간결함
5. 놀라움 또는 신비함
6. 깊이
7. 관심 분야
8. 표현의 방식 (1등한 녀석을 보셈)
9. 일반성과 특수성
10. 개인적인 기질

아름다움의 판단에 영향을 미치는 요인들이 참으로 많아 보이는군요. 조사자가 조심스레 내리는 결론은 '수학적 아름다움의 개념은 간단하게 말할 수 있는 것은 아니다' ... ㄷㄷㄷ 그러니까 수학자들이 '아름답다'고 말할때, 사실 그들은 각기 다른 생각을 가지고 말하는 것일 수 있다는...

그나저나 저는 이 설문에서는 꼴찌가 되어버린 (24)번을 좋아하는데 좀 아쉬움이 남는군요. 이것은 라마누잔 때문에 나온 것이라는...