군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문

요즘 어떻게 군론을 소개하면 좋을까 고민을 좀 하고 있었는데, 우연히 마틴 가드너의 책 'The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications' 을 넘겨 보다가 좋은 걸 배웠다.

군, 群, group 이란 무엇인가? 오늘은 몇개의 군대 용어를 사용하여, 군론을 소개하려 한다. 다만 주의할 것은, 수학용어 군은 무리 군 群으로 군대와는 관계가 없으니 혼동이 없기를...

지금 교관과 훈련병이 제식훈련 중이다. 훈련병은 차렷자세로 교관을 바라보고 있다. 교관은 곧 훈련병에게 네 가지의 명령을 막 섞어서 뺑뺑이를 돌리기 시작한다. 그 네 가지의 명령이란 다음과 같다.

차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아

지금부터 이 네 개 명령들의 모임, {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아} 가 가진 수학적인 구조에 대해 살펴볼까 한다. 무진장 쉽기 때문에, 군인도 이해할 수 있다고 본다. 결론을 미리 말하자면, 이 명령들의 모임은 '크기가 4인 군'의 구조를 갖는다.

관찰0.

교관이 두 개의 명령을 내렸다. 그렇다면, 그 두 개의 명령은 어떤 하나의 명령과 똑같은 결과를 준다는 것을 알 수 있다. 예를 들자면, 좌향좌.좌향좌 = 뒤로돌아. 뒤로돌아.좌향좌=우향우 가 성립하는 것이다 모든 두 개의 명령은 어떤 하나의 명령과 동일하게 볼 수 있다. 수학적으로 말하자면, 명령들 사이에는 일종의 연산이 가능한 것이다.

(물론 결과적으로 그렇다는 것이지, 훈련병이 좌향좌 두번들었다고 가만히 있다가 뒤로돌아 한번하면, 큰일이 나겠죠)

이 연산의 표를 만드는 것도 가능하다. 맨 왼쪽줄의 명령이 먼저 오고, 그 다음에 맨 위쪽줄의 명령이 온다고 하면, 연산표는 다음과 같다.

. 차렷 좌향좌 뒤로돌아 우향우
차렷 차렷 좌향좌 뒤로돌아 우향우
좌향좌 좌향좌 뒤로돌아 우향우 차렷
뒤로돌아 뒤로돌아 우향우 차렷 좌향좌
우향우 우향우 차렷 좌향좌 뒤로돌아

관찰1.

'차렷'이 명령들 사이사이에 들어가 있어도 이것은 결과적으로 아무런 변화를 가져오지 않는다.

관찰2.

모든 명령은, 다른 명령을 통해 그 명령을 내리기 전 상태로 되돌릴 수 있다. 예를 들자면, 좌향좌라고 방금 말했다면 우향우를 통해 상태를 되돌릴 수 있다. 방금 우향우라고 했다면, 좌향좌로 상태를 되돌릴 수 있다.

관찰3.

명령들의 연산에는 결합법칙이 성립한다. 다시 말하자면, (a.b).c = a.(b.c) 가 성립한다. 예를 들어, a= 좌향좌, b= 뒤로돌아, c=우향우 라고 해보자.

(a.b).c = (좌향좌.뒤로돌아).우향우 = (우향우).우향우 = 뒤로돌아
a.(b.c) = 좌향좌.(뒤로돌아.우향우) = 좌향좌.(좌향좌) = 뒤로돌아

a,b,c에 어느 명령 셋을 가져오더라도 이러한 등식은 성립한다. 왜 이러한 결합법칙이 성립하는 것일까? 이 질문이 사실 군을 공부하는데 있어 가장 중요한 질문이다. 이에 대한 설명은 다음 글을 통해 올리도록 하겠다.

이 예를 잘 이해했다면, 이제 '군'이란 무엇인가라는 질문에 답을 하기가 한결 수월해진다.

0. 이항연산이 가능한 집합으로, 즉 두 개의 원소 사이에 연산이 가능하여 그 둘의 연산이 주는 결과가 그 집합에 다시 들어있으며, (우리의 경우에는 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아} )

1. 그 집합에 연산에 대한 항등원이 존재하고, ('차렷')

2. 각 원소에 대하여 역원, 즉 그와 연산을 했을 때 항등원이 되는 원소가 존재하며, (차렷의 역원은 차렷, 좌향좌의 역원은 우향우, 우향우의 역원은 좌향좌, 뒤로돌아의 역원은 뒤로돌아)

3. 연산에 대한 결합법칙 [ 예를 들자면, (좌향좌.뒤로돌아).우향우 = 좌향좌.(뒤로돌아.우향우) ]

의 조건을 만족시킬때, 우리는 그 집합을 '군'이라 한다.

그러면 이제 다음 시간까지, 위의 관찰3에서왜 결합법칙이 성립하는지를 곰곰이 생각해 보시길...

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10 Responses to “군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문”

  1. 애기똥풀 says:

    추상대수는 항상 배우고 싶었기 때문에, 기대됩니다 '-'/

  2. erte says:

    오오... 저렇게 설명해주시니 상당히 쏙쏙 들어오는걸요... 재미나게 읽고갑니다.

  3. hoon says:

    재밌는 예시인데요?? 멋짐~
    고등학교때 이항연산하고 상당히 비슷한것 같은데...

  4. 고율 says:

    아이고 완전 웃었네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

  5. pythagoras says:

    애기똥풀/ 열심히 공부하세요~

  6. pythagoras says:

    erte/ 외교, 군사 용어를 사용해야 반응하는듯? ㅋ

  7. pythagoras says:

    hoon/ 예. 똑같은 이항연산입니다. 다만 만족시키는 성질들이 좀더 요구되는 것이지요.

  8. pythagoras says:

    고율/ ㅋㅋㅋㅋ 사실 웃기기도 하지만, 아주 훌륭한 예라고 생각하는데 ㅋㅋ

  9. 아이수 says:

    군이론에 대해
    책을 읽어도 잘 이해가 안 되서
    웹 서핑 하던 중 발견했습니다.

    예전에 오던 곳이라 더욱 반웠어요.^^

  10. [...] 군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문 [...]