드무아브르의 중심극한정리(ii) : 스털링이 가져간 영광

정규분포 [math]N\mu, \sigma^2[/math]의 확률밀도함수는 다음과 같다.

[math]\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \right) [/math]

지난 글에서는, 상수를 무시하고 보면 이 함수가

[math]b \exp \left(-ax^2 \right) [/math]

꼴이라는 이야기를 했는데, 사실 앞에 붙어 있는 상수에 대해 언급을 할 필요가 있다는 생각이 들었다. 바로

[math]\sqrt{2\pi}[/math]

말이다.

사실 여기엔 드무아브르에게는 다소 섭섭할만한 역사가 담겨져 있다. 정규분포 이야기에서 잠시 벗어나 보이는 팩토리얼 얘기를 조금 한다. 위에 있는 숫자의 근원이 여기에 있기 때문이다. 소위 스털링의 공식이라고 알려져 있는 팩토리얼의 근사식은 다음과 같다.

[math] n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}[/math]

팩토리얼은 정의는 간단할지라도 n이 조금만 커지기 시작하면 계산하기가 그리 만만치 않은 녀석이다. 따라서 위의 식은 실용적인 측면에서도 매우 유용한 근사식이 된다. 드무아브르는 이 근사식을 유도한 바가 있다. 다만 [math]\sqrt{2\pi}[/math]라는 상수를 구하지 않고 다음과 수준의 표현을 남긴다. 적당한 상수 B가 있어 다음과 같이 된다는 것을!

[math] n! \approx B \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^{n}[/math]

역사는 다음과 같은 이야기를 전한다.

In Miscellanea Analytica (1730) appears Stirling's formula (wrongly attributed to Stirling) which de Moivre used in 1733 to derive the normal curve as an approximation to the binomial. In the second edition of the book in 1738 de Moivre gives credit to Stirling for an improvement to the formula. De Moivre wrote:-

I desisted in proceeding farther till my worthy and learned friend Mr James Stirling, who had applied after me to that inquiry, [discovered that c = √(2 π)].

크레딧을 스털링에게 돌린 드무아브르. 오늘날 팩토리얼의 근사식은 (드무아브르의 이름은 온데간데 없이) 스털링의 공식으로 불려진다. 나같은 오타쿠가 아니라면, 수학을 공부해도 스털링의 이름 앞에 드무아브르가 와야 한다는 주장을 들어본 적이 없기 쉬울 것이다. 그러나 팩토리얼에 대한 드무아브르-스털링 공식이 옳지 않겠는가? 이러한 주장에 대해서는
[Historical Note on the Origin of the Normal Carve of Errors BY KARL PEARSON]을 참조하시면 되겠다.

후대 사람들은 정규분포의 확률밀도함수는 가우시안으로 부르며, 팩토리얼 근사식은 스털링 공식이라 부르고 있다는 사실을 죽은 드무아브르가 안다면 얼마나 억울해 하겠는가?

이야기는 다음 편에 계속된다.

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