드무아브르의 중심극한정리(i)

대학민국 고등학교 수학의 통계 부분에서 다음과 같이 말하면서 증명하지 않고 은근슬쩍 넘어가는 것이 있다.

확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(np,npq)를 따른다는 것이 알려져 있다.

고등학교 교과서에서도 '중심극한정리'라는 말을 언급하는지 하지 않는지는 기억이 나지 않는데(혹시나 고딩 분들 있으면 답변을...), 위에서 말하는 것은 통계학에서 가장 중요한 정리중의 하나인 '중심극한정리'의 가장 단순한 버전이라고 할 수 있다. 중심극한정리는 여러 과정을 거쳐 발전했는데, 최초는 드무아브르의 18세기 버전, 그 다음이 위에 서술된 라플라스의 19세기 초기 버전이다.

대다수의 사람들에게야 정규분포라는 것이 대략 종 모양 곡선이라고 알고 나면 땡이겠지만, 수학을 공부하는 사람의 입장에서 볼 때, 이는 매우 개탄스러운 일이라 말할 수 있다.


대략 종모양...으로는 충분하지 않다

정규분포 [math]N\mu, \sigma^2[/math]의 확률밀도함수는 그냥 대략 종모양인 것이 아니라 수학적으로

[math]\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \right) [/math]

라는 엄밀한 표현을 가지고 있다.

불필요한 상수들을 좀더 간략하게 표현을 하자면, 이 함수는

[math]b \exp \left(-ax^2 \right) [/math]

꼴인데, 이 함수의 그 무엇이 특별하길래 세상을 지배하는가 하는 질문은 너무나도 중요한 질문이라고 할 수 있다. 왜 하필 이 함수인가... 궁금하지 않으십니까?

아무튼 다음 글에서는 우리 고교 과정에서 빼먹어주신 부분을 메꾸는 작업을 하는데, 드무아브르 버전의 중심극한정리를 대강 유도한다. (다시 말하자면, [math]b \exp \left(-a x^2 \right) [/math] 형태로 주어지는 함수의 등장을 두 눈으로 보게 될 것이라는 얘기)

드무아브르 버전이라는 것은 별게 아니라 이항분포의 경우에서 확률이 1/2인 경우이다.(라플라스의 버전은 더 일반적인 확률 p에 대한 근사) 즉 동전을 여러번 던져서 앞면 혹은 뒷면이 나오는 경우를 셀 때, 동전을 많이 던질 경우 이것이 대체로 정규분포곡선을 따르게 된다는 것이다.

이를 가지고 수능시험에도 낼 수 있는 수준의 문제를 들자면,

동전을 100회 던질 때, 앞면이 45회 이상 55회 이하 나올 확률을 구하여라.

라고 물으면,

정규분포표를 보고 0.7286이라고 대답하면 된다.

그럼 다음 글 올라올 때까지, 자바애플릿으로 열심히 동전던지기 시뮬레이션을 해 보시길...

5 Responses to “드무아브르의 중심극한정리(i)”

  1. 원석 says:

    형 오랜만이에요~ 잘지내시나요? ㅋㅋ

    고딩은 아니지만 형의 궁금증에 답할수 있을거 같아요 ㅋ

    고딩 때 교과서 상에서는 중심극한 정리라는 이름은 안나와요~

    뵌지 꽤 오래되었는데 다음에 기회되면 한번 뵈요~

  2. pythagoras says:

    원석/ 오~ 땡큐~

    근데 ... 정말 죄송한데... 누군지... -_- 잘 모르겠는데... 메일좀..

  3. 피글링 says:

    제가 가지고 있는 중앙 출판사의 교과서에는 본문 내용 오른쪽의 주석으로 중심극한정리가 언급되어 있네요. '일반적으로~알려져 있다' 이렇게 정말로 언급'만'...수업 시간에 아예 이 부분은 그냥 넘어가서 교과서를 찾아보기 전까지는 나와 있는 줄도 몰랐어요.
    7차 문과학생들은 큰 수의 법칙, 정규분포의 확률밀도함수, 중심극한정리에 대해 전혀 접근하지 못하고 구멍이 뽕뽕 뚫려있는 개념도를 가지고 공부를 해요. 그래서 통계 단원은 개념을 익히고 문제풀이를 하면서 정리하고 나서도 어딘가 찝찝한 기분이 들어요.

    손 놓고 멍하니 보고 있었던 그 함수의 실체를 확인할 날이 기다려집니당^-^!

  4. pythagoras says:

    피글링/ 답변 고마워요~. 곧 쓰도록 할께요.

  5. BARK says:

    수식이 텍스트로 뜹니다. 확인해주세요 ^^