AGM을 이용한 파이 계산 알고리즘

다음과 같은 초기값과 점화식을 정의한다.

piagm.JPG

여기에는 덧셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근 연산만 사용된다.

수열 [math]\pi_n[/math]은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.

[math]\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772[/math]
[math]\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645[/math]
[math]\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675[/math]
[math]\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666[/math]
[math]\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751[/math]

한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수를 준다. 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산하게 된다. 이 알고리즘은 Pi and the AGM 이라는 책에 잘 나와 있다. (라고는 하지만 사실은 몇개 연습문제의 산들을 넘어야 한다 ㅎㅎ)

이러한 흘러간 시대의 모습을 하고 있는 수학을 볼때면, 마치 개발시대를 지나며 잃어버린 옛 정취같은 것을 느끼게 된다. 요즘 학생들이야 온갖 추상적이고 현란한 용어가 난무하는 현대수학의 언어와 도구들을 익히는데 온 힘을 써야하는 것이 현실이지만, 내가 보기에 이런 옛스런 수학은 수학에서도 일종의 교양같은 것이라 할 수 있다. 교양이란게 뭔 필요냐 싶지만, 교양이 없으면, 근본이 되어 있지 않은, 지나가는 바람에 이리저리 휘둘리는 잡것이 되기 쉽상이다. 내 생각으로는 학부에서의 수학교육은 이러한 교양에 해당하는 필수적인 옛수학에서부터 추상적인 현대수학까지 다리를 놓아 주는 것을 목표로 삼아야 한다. 이러한 관점에서 볼때, 나는 학부때 해석학을 참 개똥같이 배웠구나 싶다.

Abel, Niels H. (1802 - 1829)
[A reply to a question about how he got his expertise:]
"By studying the masters and not their pupils."

6 Responses to “AGM을 이용한 파이 계산 알고리즘”

  1. Seldon says:

    실리콘 칩 위의 복잡한 회로가 아니라 나무조각으로 정교하게 만들어진 장치를 보는 느낌이네요. 그런데 AGM이 뭔가요?

  2. 화종 says:

    Arithmetic-Geometric mean의 약자입니다
    한국말로 하면 "산술-기하 평균"이라는 것이지요.
    정확히 쓰면
    a, b가 양수일 때,
    a+b/2 >= (ab)^{1/2}
    수식을 잘 못써서 이해를 방해했을 수도;;;

  3. pythagoras says:

    Seldon/ http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic-geometric_mean 을 참고하시면 됩니다. 두 수의 산술평균과 기하평균을 구하는 과정을 반복해서 수렴하는 값을 agm이라 합니다.

  4. Seldon says:

    아, 그런 뜻이었군요. 고맙습니다. 그런데 산술평균은 x_n 구할 때 쓰이는데, 기하평균은 못찾겠네요...

  5. pythagoras says:

    Seldon/ x_n, y_n 을 저런 방식으로 정의하는 것이 좋다는 것을 유도하는 과정 속에 이미 AGM 이 쓰이게 됩니다. 드러나 있지는 않지만 x_n,y_n 뒤에는 또다른 수열 a_n, b_n이 있고, 이 녀석들의 적당한 결합이 x_n,y_n을 만들어 냅니다.

  6. Seldon says:

    피타고라스님 답변 고맙습니다.^^