Archive for April, 2008

Math Sucks

Friday, April 18th, 2008

앞에 올려진 'Math Doesn’t Suck'이 어떠한 사회적 분위기에서 등장했는가를 이해하기 위해서는, 이러한 노래의 존재를 아는 것이 좋겠다. 수학 교육의 몰락이 미국이 신정국가가 되어 가는 이유는 아닐지?

Math Sucks - Jimmy Buffett

If necessity is the mother of invention
Then I'd like to kill the guy who invented this
The numbers come together in some kind of 3rd dimension
A regular algebraic bliss.
Let's start with something simple
Like one and one ain't three
And two plus two will never get you five
There's fractions in my subtraction
And X don't equal Y
But my homework is bound to multiply

Math sucks (math sucks)
Math sucks (math sucks)
I'd like to burn this textbook, I hate this stuff so much!
Math sucks (math sucks)
Math sucks (math sucks)
Sometimes I think that I don't know that much--But math sucks!

I got so bored with my homework
I turned on the T.V.
The beauty contest winners were all smiling through their teeth
They asked the new Miss America "Hey babe, can you add up all those bucks?"
She looked puzzled then just said, "Math Sucks!"

Math sucks (math sucks)
Math sucks (math sucks)
You don't even have to spell it, all you have to do is yell it
Math sucks (math sucks)
Math sucks (math sucks)
Sometimes I think that I don't know that much--But math sucks!

Geometry, trigonometry, and if that don't tax your brain
There are numbers to big to be named (too big to be named)
Numerical precision is a science with a mission
And I think it's gonna drive me insane

Parents fighting with their children and the Congress can't agree,
Teachers and their students are all jousting constantly
Management and labor keep rattling old sabers,
Quacking like those Peabody ducks

Math sucks (quack quack)
Math sucks (quack quack)
You don't even have to spell it, all you have to do is yell it!
Math sucks (math sucks)
Math sucks (math sucks)
Sometimes I think that I don't know that much--But math sucks!

Math sucks, math sucks, math sucks the big one
Math sucks, math sucks, math sucks the big one

[repeat until end, fades out]

초딩들의 꿈 - Farey Series

Friday, April 18th, 2008

수학에는, Freshman's dream(대딩 1학년의 꿈)이라는 것이 있다. 표수가 p인 유한체에서는 다음의 수식이 성립한다.

[math](a+b)^p = a^p+b^p[/math]

초딩들이 분수의 덧셈을 배울 때, 여러가지 어려운 점들이 등장하게 된다. 통분을 해야 하기 때문이다. 그런데 만약에 아래와 같은 분수의 덧셈이 참이라면 얼마나 좋을까!

[math]\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}[/math]

연산 [math]\oplus[/math] 를 잠시 이곳에서는 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'이라고 부르자.

Order가 n인 Farey Series F_n 이라는 것은, 0부터 1사이의 기약분수들 중에서, 분모가 n 이하인 녀석들을 순서대로 배열한 것이다. 작은 경우의 예를 들자면,

F1 = {0⁄1, 1⁄1}
F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}
F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}

눈을 부릅뜨고 관찰을 해보면, 여기에는 재미있는 패턴들이 많이 숨어있는데, 오늘은 한 가지만 언급하고 넘어가자. '초딩들의 꿈'이라 부를만한 것은 바로 이것이다.

주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'을 통해서 얻어진다.

예를 들자면, 위에서 굵은 글꼴로 표시한 세 수를 보면,

[math]\frac{1}{5}\oplus\frac{2}{7}=\frac{1+2}{5+7}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/math]

어느 연속된 셋을 집어내어 해봐도, 이 결과는 성립한다. '초딩들의 꿈'이라 부를만하지 않은가? 분수 덧셈이 어려운 초딩들아, 부디 꿈을 잃지 말자.

그런데 이게 왜 참인지 궁금한 사람... ?

Math Doesn't Suck

Friday, April 18th, 2008

위키피디아를 찾아보니,

Danica Mae McKellar (born January 3, 1975), is an American actress and mathematician. She is best known for her role as Winnie Cooper in the television show The Wonder Years, and now as author of the nationally bestselling book, "Math Doesn't Suck," which encourages and empowers middle-school girls with mathematics know-how.

일을 벌이려면 혼자 고생할 것이 아니라, 팀이 필요하다...

리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식

Sunday, April 13th, 2008

글 싣는 순서
리만의 제타함수 (1)
리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가
리만의 제타함수 (4) : 지수법칙
리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장
리만의 제타함수 (6) : 자연상수

지난 글들을 통해, 지수를 실수까지 확장했고, 자연상수 e도 정의할 수 있었다. 이제 지금까지 인내의 대가로, 열매를 딸 수 있는 때가 되었다. 이번 글을 중간 휴식처로 삼은 후, 이 시리즈는 본격적인 리만의 제타함수로 달려간다. 이 시리즈를 얼마나 깊이 또는 얼마나 오래 지속할 지는 오직, 독자의 반응과 나의 변덕에 의존할 뿐이다.

본론에 들어가기 앞서, 오일러라는 수학자의 매력을 느껴 보고 싶은 사람은 얼마 전에 올린 동영상 하나를 참조하기 바란다. 오일러의 왼쪽 눈. 수학적인 면으로나, 인간적인 면으로나, 우리 모두의 스승이 될만한 인물이다. 오일러의 공식이란, 다음 수식을 말한다.

지금까지의 과정을 통하여, 우리는 실수 [math]x[/math]에 대하여, [math]e^x[/math]를 정의할 수 있게 되었다. 이제 우리 앞의 과제는 지수[math]x[/math]를 실수를 넘어 복소수까지 확장하는 것이다.

복소수지수를 정의하기 위해서, 실수범위까지 정의된 지수함수에 대해 복습을 해 보자.

지수함수 f는 다음과 같은 성질들을 만족한다. 이 부분을 눈을 번쩍 뜨고 봐주길 바란다.

1. [math]f(0)=1[/math]
2. [math]f(x+y)=f(x)f(y)[/math]
3. f는 미분가능

두번째 성질을 지수함수의 가장 중요한 성질로 보존하고 싶다면, 지수함수를 복소수까지 확장하는 데는 다음을 만족시킬 필요가 있다.

[math]e^{x+iy}=e^x e^{iy}[/math]

따라서, 실수 x에 대하여, 아래의 수식을 정의하는 것으로 목표를 좁힐 수 있다.

[math]e^{ix}[/math]

위에 언급한 지수함수의 성질이 중요한 이유는, 이 세가지 성질이 역으로 지수함수들을 규정하기 때문이다. 다시 말해, 이 세가지 성질을 만족시킬 수 있는 함수는 오직 지수함수 뿐이다. 이 세가지 성질을 만족시키는 함수를 찾으라고 한다면, 어떤 양수 [math]\alpha[/math]가 있어서,

[math]f(x)={\alpha}^x[/math]

를 만족시키게 된다. 이 경우,

[math]\ln \alpha=c[/math]로 두면, [math]f(x)={\alpha}^x=e^{cx}[/math] 가 만족된다.

그리고, 이 지수함수를 미분하게 되면,

[math]\frac{df}{dx} =ce^{cx}=cf(x)[/math]

가 만족된다.

여기에서 기억해야 할 사실은 단 하나, 모든 지수함수는 [math]e^{cx}[/math]의 형태로 쓸 수 있고, [math]c[/math]는 미분을 할 때, 앞에 상수로 튀어나오는 숫자라는 것이다.

이제 오일러의 공식을 유도하기 위한 모든 준비는 끝났다.

[math]f(x)=\cos x+ i\sin x[/math]

라고 정의된, 실수 x 를 넣으면 복소수 값을 뱉어내는 함수를 생각해 보자. 이 함수는 다음 성질들을 만족한다.

1. [math]f(0)=\cos 0+ i\sin 0=1[/math]
2. [math]f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=cos (x+y)+i sin (x+y)=f(x+y) [/math]
3. [math]\cos x,\sin x [/math]이 미분가능하므로 [math]f [/math] 역시 미분가능

그저 삼각함수와 허수를 결합시켰을 뿐인데, 지수함수만이 만족시킬수 있는 함수가 신비스럽게도(?) 만들어졌다.

이 함수를 미분해보자.

[math]\frac{df}{dx} =-\sin x +i \cos x=i(\cos x+ i\sin x)=if(x)[/math]

지수함수를 복소수 범위까지 확장하는데 있어서, 실수범위까지 정의되었던 지수함수가 만족시키는 성질과 미적분학의 규칙들을 보존하고 싶다면, 이제까지의 논의를 통해 우리에게 주어지는 선택지는 단 하나.

[math]f(x)=\cos x+ i\sin x=e^{ix}[/math]

다시 말해, 실수 [math]x[/math]에 대하여, [math]e^{ix}[/math] 를 정의하고 싶다면, 위에 놓인 선택지가 유일하다는 것이다. 지수함수를 복소수 범위까지 넓히고 싶다면, 이 정의를 따르는 것 말고는 방법이 없다. 그러니 이 정의를 채택하자.

이제 오일러의 공식은 그냥 따라 나오게 된다.

만약, [math]x=\pi[/math] 라면,

[math]f(\pi)=e^{i\pi}=\cos \pi+ i\sin \pi=-1[/math]

따라서,

[math]e^{i\pi}+1=0[/math]

이렇게 하여, 원하던 바 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식이 얻어졌다. 수학에서 가장 중요하게 여겨지는 다섯개의 상수가 결합하여 만들어내는 이 수식은, 수학이라는 학문에 있는 아름다움의 상징으로 흔히 언급된다.

오일러의 왼쪽 눈

Saturday, April 5th, 2008

EBS 지식채널 (2008.01.21), 오일러의 왼쪽 눈

두 눈을 감고 우주를 보았다

멋있지 않아요? *_*