초딩들의 꿈 - Farey Series (2)

이 글은 초딩들의 꿈 - Farey Series의 후속편이다.

기억을 되살리기 위해 다시 언급하면, order가 n인 Farey Series F_n 이라는 것은, 0부터 1사이의 기약분수들 중에서, 분모가 n 이하인 녀석들을 순서대로 배열한 것이다.

우리의 목표는

주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어진다.

를 증명하는 것이다. ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’이란

를 말한다.

위에 있는 수들의 패턴을 잘 관찰해 보면,

[math]F_n[/math]의 인접한 두 분수,

[math]\frac{b}{a} < \frac{d}{c}[/math]

사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

[math]ad-bc=1[/math]

오늘은 이것을 증명한다. 이것을 증명하면, 초딩들의 꿈의 분수덧셈이 왜 참인지 쉽게 알 수 있다.

이제 문제를 기하학적으로 해석해 보자. F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1} 를 예를 들어 설명한다.

먼저 각각의 분수들에 대해, 좌표평면에다가 다음과 같은 방식의 대응관계를 찾아 점을 찍는다. 즉,

0/1 -> (1,0)
1/5 -> (5,1)
1/4 -> (4,1)
...
3/4 -> (4,3)
4/5 -> (5,4)
1/1 -> (1,1)

그러면 아래와 같은 그림이 얻어진다.

pick1.JPG

이 다음 각각의 좌표를 원점과 잇는 선분을 그린다.

pick2.JPG

각각의 분수들은 이와 같이 얻어진 직선의 기울기와 같다는 것을 알 수 있다. 인접한 두 분수는 인접한 두 직선으로 나타나고 있다.

이제 왜 인접한 [math]\frac{b}{a} < \frac{d}{c}[/math], 가 [math]ad-bc=1[/math]를 만족시키는가를 이해해 보자. 예를 들어, 1/2와 3/5는 인접해 있는데, 2x3-1x5=1을 만족시키고 있다. 이 상황을 기하학적으로 이해하자.

좌표평면 상에서 (0,0), (a,b), (c,d)이 그리는 격자삼각형을 생각해보자. ( (0,0),(2,1), (5,3) 의 경우를 구체적으로 생각해보라)

세 점을 이어서 삼각형을 그리게 되면, 이 삼각형은 그 내부와 경계에 (0,0), (a,b), (c,d)를 제외한 다른 격자들을 가지고 있지 않다. 이 관찰이 매우 중요하므로, 이것이 왜 참인지, [math]F_n[/math]의 정의를 가지고 곰곰이 생각해보면 좋겠다.

이제 픽의 정리에 의해, 삼각형의 넓이는 [math]\frac{1}{2}[/math]가 된다. (I=0,B=3 인 경우) 픽의 정리는

를 말한다.한편 좌표평면 상에, 원점과 (a,b), (c,d) 세 점이 결정하는 삼각형의 넓이는 다음과 같이 주어진다.

[math]\frac{|ad-bc|}{2}[/math]

따라서 ad-bc가 양수라면, ad-bc=1이 성립해야만 한다. 증명이 끝났다. 다음 편에 마무리를 짓도록 하겠다.

4 Responses to “초딩들의 꿈 - Farey Series (2)”

  1. 나비 says:

    멋지네요!
    다음 편 기대됩니다.^^

  2. pythagoras says:

    나비님/ 읽은 사람 0명인줄 알았어요. 곧 마무리할께요.

  3. gok01172 says:

    !!

  4. pythagoras says:

    gok01172/ 이것은 감동의 표현인가요?