리만의 제타함수 (8) : 소수는 무한히 많다(i)

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영국 수학자 하디가 쓴 그의 책 '어느 수학자의 변명'에는 다음과 같은 부분이 있다.

I will state and prove two of the famous theorems of Greek mathematics. They are ‘simple’ theorems, simple both in idea and in execution, but there is no doubt at all about their being theorems of the highest class. Each is as fresh and significant as when it has discovered—two thousand years have not written a wrinkle on either of them. Finally, both the statements and the proofs can be mastered in an hour by any intelligent reader, however slender his mathematical equipment.

나는 그리스 수학의 두 가지 유명한 정리를 서술하고 증명할 것이다. 그것들은 아이디어에 있어서나 실제 증명의 수행에 있어서나 모두 '간단한' 정리들이지만, 최상급의 정리들이라는 면에서는 의심의 여지가 없다. 이들은 처음 발견되었을 때만큼이나 신선하고 또 의미심장하다 - 이천년의 세월이 흘렀어도 이들에는 어떤 흠집도 생기지 않았다. 마지막으로 이 두 증명은 지적인 독자들이라면, 수학적 재능이 다소 부족할지라도, 한 시간 이내에 이해할 수 있다.

뭘하는 사람들인지 도무지 이해하기 어려운 수학자들이 추구하는 진짜 수학이라는 것이 무엇인지를 일반인들에게 이해시키기 위해, 일반인들에게 접근이 가능하면서도, 수학적으로 최상급이라 할 수 있는, 하디가 선택한 두가지 수학의 정리는, '소수는 무한히 많다'와 '루트2는 무리수이다' 였다. 자기 자신이 적어도 수학에 대한 교양을 갖추고 있다고 생각한다면, 이 두 가지는 언제라도 그 증명을 복원할 수 있어야 한다고 생각한다. 나는 이 증명을 고등학교1학년 때 처음 알게 됐는데, 감동적인 순간으로 기억을 한다. 기본적인 증명의 기법들을 배우면서, 귀류법을 배울 때였다.

이제 이천년전 유클리드가 남긴 '소수는 무한히 많다'는 증명을 소개한다.

소수의 개수가 유한하다고 하자. 즉 2,3,5, ..., p 가 모든 존재하는 소수라고 가정하자.

[math]N=2\times3\times5\times\cdots\times p +1[/math]

라는 숫자를 생각해 보자.
이 숫자 N은 위에서 언급한 소수의 리스트에 들어있지 않으므로, 소수가 아니다.
그러므로 N을 나누는 어떤 소수가 존재해야 한다. 그런데 N을 2로 나누면 나머지가 1, 3으로 나누어도 나머지가 1, 5로 나누어도 나머지가 1, ...,p로 나누어도 나머지가 1이다. 따라서 어떤 소수도 N을 나누지 않고, 그러므로 N은 소수이다.
모순.

다음 글에서는 드디어 리만의 제타함수가 모습을 드러낼 것이고, '소수는 무한히 많다'는 것을 새롭게 증명할 것이다.

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6 Responses to “리만의 제타함수 (8) : 소수는 무한히 많다(i)”

  1. hoon says:

    전 감동보다 당황스러웠는데 왜일까요? 역시 자질이 부족한건가요?? ㅎㅎ

  2. pythagoras says:

    hoon님/ 소수가 무한히 많은 것이 왜 당황스러웠을까요..? 자질이란건 함부로 말할수는 없는 것이고, 뭐 다 느끼는 건 다른 거니까요.

  3. gobears says:

    '마지막으로 이 두 증명은 지적인 독자들이라면, 수학적 재능이 다소 부족 할지라도, 한 시간 이내에 이해할 수 있다' vs
    '자기 자신이 적어도 수학에 대한 교양을 갖추고 있다고 생각한다면, 이 두 가지는 언제라도 그 증명을 복원할 수 있어야 한다고 생각한다'
    이 포스팅 모순적이긴 한데 갠적으론 하디님 주장이 솔깃하네요 ㅎ

  4. hoon says:

    ㅎㅎ 소수가 많아서 당황한건 아니구요. 증명 방법이 거창할거 같았는데 너무 허탈해서 당황했어요.

  5. pythagoras says:

    gobears님/모순적인가요? 잘 모르겠네 @.@

  6. pythagoras says:

    hoon님/ 알고나면 세상이 다 그렇습니다.